3.4. Составление исходного плана и получение оптимального плана

Исходный план рекомендуется составлять способом наименьшего показателя оптимальности. Этим способом заполняются сначала клетки всей правой (верхней и нижней одновременно) части матрицы. Избыток перерабатывающей способности пунктов перевалки заносится в клетки фиктивной диагонали левой нижней части матрицы, а затем способом наименьшего показателя оптимальности заполняются клетки левой верхней части матрицы. Загруженных клеток должно быть

m + n – 1 = 5 + 6 – 1 = 10. Если таких клеток меньше, то необходимо дополнить их до этого числа 10, поставив в свободные клетки необходимое число “искусственных нулей”. Они ставятся в клетки, стоящие на пересечении строки с последней загруженной клеткой R₂П₃ и столбцов с клетками П₁П₁ и П₂П₂, при записи значений в которые произошло вырождение – были “вычеркнуты” сразу и строка, и столбец. Клетки, содержащие “искусственные нули”, считаются загруженными (x_ij > 0). Исходный план, имеющий 10 загруженных клеток, является базисным . Этот план нужно проверить на выполнение условий оптимальности при решении транспортной задачи методом потенциалов. Как правило, исходный план не является оптимальным. Поэтому необходимо выполнить одну или более итераций ( табл. 4 - 5) , чтобы получить оптимальный план.

Исходный план составляется способом наименьшего показателя оптимальности. Сначала в клетках правой (верхней и нижней) части матрицы отыскивается наименьшее значение показателя оптимальности – c_ij = 31,3. В клету R₁Р₁ заносится максимально возможное значение x_ij = 200. Затем заполняется клетка П₃Р₂, в которой c_kj = 33,0 – в эту клетку записывается x_kj = 170 и т.д. до тех пор, пока не будут удовлетворены потребности всех потребителей. Избыток перерабатывающей способности пунктов перевалки 250, 350 и (450-170) = 280 заносится в клетки фиктивной диагонали (с нулями) левой нижней части матрицы.

После составления исходного плана и проверки баланса по строкам и столбцам определяются потенциалы строк и столбцов, для чего используется первое условие оптимальности решения задачи методом потенциалов.

V_j – U_i = c_ij для загруженных клеток (x_ij > 0), где V_j – потенциал столбца, U_i – потенциал строки. V_j = U_i + c_ij ; U_i = V_j - c_ij . Присвоим первой строке с наибольшим показателем оптимальности в загруженной клетке R₁П₃ (c_ik = 77) потенциал U₁ = 0. Тогда потенциал третьего столбца V₃ = 0 + 77 = 77 …, четвертого столбца V₄ = 0 + 31,3 = 31,3; потенциал второй строки U₂ = 77 – 52,5 = 24,5 и т.д. (Потенциалы отыскиваются только через загруженные клетки!).

После определения потенциалов все свободные клетки матрицы проверяются на выполнение второго условия оптимальности решения задачи методом потенциалов: V_j – U_i <= c_ij для клеток с x_ij = 0 (свободных). Если это условие выполняется, то план оптимален. В табл. 4 для клетки R₁Р₂ это условие не выполняется и величина нарушения

H = 110 – 0 – 80 = 30. Улучшение плана начинается с исправления максимального по величине нарушения (если их несколько), причем только одного. Поместим в клетку с нарушением максимально возможную величину потока. Строим замкнутый контур по правилу: выйдя из клетки с нарушением и поворачивая только в загруженных клетках возвращаемся в клетку с нарушением. Вершины контура обозначаем знаками “ + ” и

“ - “, начиная со знака “ + ” в клетке с нарушением и чередуя их. В клетку с нарушением помещаем минимальное из чисел, стоящих у отрицательных вершин контура. x_ул. = min [x_ij^(-)] = min [60, 170] = 60. Это значение убираем из клеток R₁П₃, П₃П₂ и добавляем в клетки R₁Р₂ и П₃П₃.

Для плана, полученного в табл. 5, снова находим потенциалы и нарушения. Процедура улучшения плана продолжается до тех пор, пока план не будет иметь нарушений. Такой план, полученный в табл. 6, является оптимальным.

Сокращение затрат на перевозки по оптимальному плану по сравнению с исходным планом равно , тыс. руб. Или тыс. руб.

По полученному оптимальному плану в произвольном масштабе ширины потоков вычерчивается диаграмма оптимальных грузопотоков (лист 1 курсовой работы со штампом).

Таблица 4 – Матрица задачи и исходный план

	V j	77,6	69,6	77	31,3	110	74
Ui		П1	П2	П3	Р1	Р2	Р3	ai, qk
0	R1	ж 51 +26,6	а 50.4 +19,2	ж 77 60	а 31.3 200	ж 80 + 30	ж 74	260
24,5	R2	р 53,1 0	р 45,1 0	р 52,5 110	р 52,3	а 101,5	р 49,5 110	220
77,6	П1	0 250	М	М	36,7 М	61 М	47,5 М	250
69,6	П2	М	0 350	М	42,7 М	38	32 М	350
77	П3	М	М	0 280 +	57 М	ж 33 170	0 М	450
	qk, bj	250	350	450	200	170	110	1530

Затраты на перевозки по исходному плану:

С_исх = 60*77 + 200*31,3 +110*52,5 + 110*49,5 + 170*33 = 27710 тыс. руб.

Таблица 5 – Результат первой итерации

	V j	53,1	45,1	52,5	36,8	85,5	49,5
Ui		П1	П2	П3	Р1	Р2	Р3	ai, qk
5,5	R1	ж 51	а 50.4	ж 77	а 31.3 200	ж 80 60	ж 74	260
0	R2	р 53,1 0	р 45,1 0 +	р 52,5 110	р 52,3	а 101,5	р 49,5 110	220
53,1	П1	0 250	М	М	36,7 М	61 М	47,5 М	250
45,1	П2	М	0 350	М	42,7 М	38 + 2,4	32 М	350
52,5	П3	М	М	0 340 +	57 М	ж 33 110	0 М	450
	qk, bj	250	350	450	200	170	110	1530

Таблица 6 – Результат второй итерации – оптимальный план

	V j	50	42	47	31,3	80	46,4
Ui		П1	П2	П3	Р1	Р2	Р3	ai, qk
0	R1	ж 51	а 50.4	ж 77	а 31.3 200	ж 80 60	ж 74	260
-3,1	R2	р 53,1 0	р 45,1 110	р 52,5	р 52,3	а 101,5	р 49,5 110	220
50	П1	0 250	М	М	36,7 М	61 М	47,5 М	250
42	П2	М	0 240	М	42,7 М	38 110	32 М	350
47	П3	М	М	0 450	57 М	ж 33 0	0 М	450
	qk, bj	250	350	450	200	170	110	1530

Затраты на перевозки по оптимальному плану:

С_опт. = 200*31,3 + 60*80 + 110*45,1 + 110*49,5 + 110*38 = 25646 тыс. руб.

Сокращение затрат на перевозки:

С_исх - С_опт. = 27710 – 25646 = 2064 тыс. руб.

Или

60*30 + 110*2,4 = 2064 тыс. руб.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Единая транспортная система: Учеб. для вузов / В.Г. Галабурда, В.А. Персианов, А.А. Тимошин и др.; Под ред. В.Г. Галабурды. – М.: Транспорт, 2001. 303 с.

2. Правдин Н.В., Негрей В.Я., Подкопаев В.А. Взаимодействие различных видов транспорта : примеры и расчеты / Под ред. Н.В. Правдина. - М.: Транспорт, 1989. - 208 с.

3. Тихончук Ю.Н., Елисеева Т.В., Каяшев А.В. Рациональное распределение грузовых перевозок между железнодорожным и автомобильным транспорт. - М.: Транспорт, 1972. - 136 с.

4. Сопоставимые издержки разных видов транспорта при перевозке грузов / Под ред. В.И. Дмитриева и К.Н. Шишко. - М.: Транспорт, 1972. - 488 с.

5. Белов И.В., Каплан А.В. Математические методы в планировании на железнодорожном транспорте. - М.: Транспорт, 1972. - 248 с.