Интегральная теорема Лапласа.

- ; можно найти по таблице в учебнике.

;

Ф ункция Лапласа не выражается через элементарные функции, это функция монотонно возрастающая, нечетная.

Случайные величины.

Понятие случайной величины является одним из центральных понятий теории вероятности.

Случайной величиной называется величина , которая в данном опыте может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.

Приведем некоторые примеры случайных величин

1. Число выстрелов, производимых до первого попадания в цель.

2. Расстояние от центра мишени до точки попадания .

3. Число бракованных деталей в партии из N изделий.

4. Число шайб , заброшенных в ворота.

5. Ошибка измерения.

Несмотря на всю разнородность приведенных примеров , все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно , в каждом примере мы имеем дело с величиной, которая под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения.

Заранее указать, какое значение примет эта величина, нельзя, т.к. оно меняется случайным образом от опыта к опыту.

Случайные величины обозначают большими буквами, а их значения малыми x, y…. В отличие от переменных величин х₁, х₂,… случайные величины меняют значения даже при неизменных условиях опыта. Между случайными величинами и событиями существует связь. Понятие случайной величины - общее всякое событие можно истолковать как случайную величину, принимающую только два значения:

0 – если событие не появляется;

1 – если событие появляется.

Различают случайные величины дискретного и непрерывного типа.

Дискретной величиной (прерывной) – называется случайная величина, которая принимает отдельные изолированные, возможные значения с определенными вероятностями. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Закон распределения случайных величин

На первый взгляд может показаться , что для задания случайной величины достаточно знать все возможные значения , которые она может принимать. В действительности это не так. Случайные величины могут иметь одинаковые возможные значения , но различные вероятности этих значений.

Чтобы полностью охарактеризовать величину, нужно знать какие значения она может принимать, т.е. с какой вероятностью. Под законом распределения случайной величины понимают соотношение, устанавливающее связи между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, таблично, графически. Пусть х₁, х₂….х_n – возможные значения случайной величины, а соответствующие им вероятности Р₁, Р₂….

Аналитически Р_i=Р(x=x_i)

Таблично (ряд распределения)

xi	x1	x2…..	xn
Pi	P1	P2…...	Pn

Принимая во внимание, что в каждом опыте случайная величина принимает одно и только одно значение, сумма вероятностей которой равна 1.

-это общее требование для любой задачи

Графически (ломанная соединяющая x_i и Р_i в точке называют многоугольником распределения).

Функция распределения

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невозможно.

Общий способ задания любых типов случайных величин осуществляется с помощью любых функций распределения. Пусть х – действительное число для случайной величины Х. Рассмотрим событие Х<х, т.е. событие состоящее в том, что Х примет значение < х. Рассмотрим вероятность этого события. Если х будет изменяться , то будет изменяться и вероятность, т.е. вероятность есть некоторая функция от х.

Р(Х<х)=F(x)

Функция распределения (интегральная функция распределения) случайной величины x называется функция F(х) , определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина примет значение <х.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) непрерывно дифференцируема.