Формулы полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей- являются так называемая формула полной вероятности.

Пусть событие A может появиться лишь с одним из несовместных событий , , которое образует полную группу. Сначала появляется одно из событий , а затем событие A, которое при этом может появиться или не появиться.

Пусть известны вероятности и условные вероятности события , какова будет при этом вероятность появления события A? Появление события A означает осуществление одного , безразлично какого из несовместных событий

Следовательно, событие A- есть сумма этих событий , т.к. если Hi несовместно, то их комбинация HiA также несовместна. По теореме сложения вероятность события

.

По теореме умножения вероятностей.

- формула полной вероятности.

Вероятность события A равна сумме произведений каждого из несовместных событий , на соответствующую условную вероятность события A. Т.к. событие A образует полную группу, то .

Т.к. заранее неизвестно , какое событие раньше наступит, то эти события называются гипотезами.

Пример: При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки , причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких - соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний- с вероятностью 0,3 и мелкий - с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Решение:

В данном примере 3 гипотезы , вероятности которых P(H₁)=0,1; P(H₂)=0,3 и P(H₃)=0,6.

Событие A- попадание осколка в броню . Пользуясь формулой полной вероятности, находим:

P(A)=0,10,9+0,30,3+0,60,1=0,24

Формула Бейеса.

(Формулы вероятности гипотез)

Используя формулу полной вероятности, можно получить еще одну важную формулу, которая называется формулой Бейеса или формулой Бейеса или формулой вероятностей гипотез. Эта формула используется в теории ошибок.

Пусть имеем полную группу гипотез Hi . Вероятность каждой из которых имеет определенное значение P(Hi). Допустим, что в результате опыта некоторое событие A, появление его может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез. Каковы бы не были вероятности гипотез Hi после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие A, сначала найдем условную вероятность первой гипотезы P_A(H₁).

По теореме умножения

,

где P(A)-вычисляется по формуле полной вероятности, для гипотезы H₂- аналогично.

.

Пример.

70% деталей , поступающих на сборку , изготовленные 1 автоматом, дают 2% брака, а 30% деталей , поступающих на сборку, изготовленные 2 автоматом, дают 5% брака. Какова вероятность того, что на удачу взятая изготовленная деталь , сделана 1 автоматом.

Обозначим событие A-взята бракованная деталь, по условию можно сделать 2 гипотезы H₁ и H₂. Вероятности деталей известны, вероятность того, что деталь изготовлена 1 автоматом P(H₁)=0,7, вероятность того, что деталь изготовлена 2 автоматом P(H₂)=0,3.