Зависимые и независимые события.

Два события называются независимыми , если появление и не появление одного из них никак не влияет на вероятность другого события.

Пример: Одновременно брошены 2 игральных кубика. Пусть событие A - на первом кубике выпало 5 очков; событие B- на втором 6 очков. События A и B независимы, т.к. оба кубика бросаются независимо друг от друга.

Несколько событий называются попарно независимыми , если каждые два из них независимы.

Два события называются зависимыми, если вероятности осуществления одного из них зависит от появления или не появления другого события.

Пример: Пусть в урне находятся белые и черные шары.

а) Вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны, если вынутый первым шар предварительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой.

б)Наоборот, если шар , вынутый первым , не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Это зависимые события.

Условная вероятность

Пусть A и B - зависимые события, из определения зависимых событий, что вероятность одного из событий зависит от появления или не появления другого события, важно знать наступило ли другое событие.

Условная вероятность события- вероятность , вычисляемая в предположении , что событие A уже наступило.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятностей одного из них на словную вероятность другого, вычисленную в предположении, что 1-ое событие уже наступило.

Пусть n-число всех возможных исходов опыта, в котором событие A наступает или не наступает, m-число исходов , благоприятствующих событию A, l- число событий благоприятствующих AB, в котором событие A уже наступило.

Считаем , что событие A уже наступило, то из раннее возможных n-случаев остаются возможными только те m-которые благоприятствуют событию A , из них l-исходв благоприятствуют событию B.

Замечание 1 :

Для независимых событий условная вероятность совпадает с безусловной , поэтому вероятность от произведения равна произведению этих событий.

Замечание 2:

Теорема умножения обобщается на любое число сомножителей при условии, что эти события независимой совокупности.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если вероятность появления одного из них не зависит от того произошли ли какие- либо рассматриваемые события или нет .

Пример:

Студент пришел на экзамен зная 20 вопросов из 25 вопросов. Какова вероятность того, что студент знает каждый из 2-х вопросов, заданных ему экзаменатором?

Пусть событие A- студент знает 1-й вопрос.

B-студент знает 2-й вопрос, тогда вероятность события A,

искомая вероятность

Вероятность появления хотя бы одного из событий.

Пусть в результате опыта может появиться n-событий A₁, A₂,,A_n в независимой совокупности, либо некоторое из них. Вероятности появления каждого из событий известны.

Теорема.

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,,A_n в независимой совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей событий.

Доказательство:

Пусть A- событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий . Рассмотрим события как .

)=1

По теореме умножения вероятность произведения равна произведению вероятностей.

Пусть событие имеет одинаковую вероятность равную P, тогда вероятность появления хотя бы одного события имеет вид

Пример: Два орудия ведут стрельбу по мишени . Вероятность попадания в точке для 1-го орудия -0,5, для второго-0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в точке, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

Решение: Пусть событие A₁-попадание из 1-го орудия при одном выстреле;

A₂- попадание из 2-го орудия при одном выстреле, найдем .

Событие B -хотя бы одно попадание в мишень при 3-х выстрелах из обоих орудий.

P(B)=1-(0,3)³=1-0,027=0,973.