Основные теоремы теории вероятности.

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство: пусть n-общее число возможных элементарных исходов опыта, m-число исходов, благоприятствующих событию A, k-число исходов, благоприятствующих событию B. Изобразим наглядно схему случая.

,

Т.к. события A и B несовместны , то нет таких исходов , которые благоприятствуют и A и B вместе.

Поэтому число исходов , благоприятствующие событию A+B=m+k.

Замечание: для любого числа попарно несовместных событий , теорема формируется аналогично.

Пример.

При стрельбе вероятность сделать отличный выстрел 0,3 ; хорошо-0,4, какова вероятность сделать выстрел не ниже хорошо Обозначим A-отлично, B-хорошо, C-полученные оценки не ниже хорошо, тогда C=A+B, причем A и B несовместны. По теореме C=0,4+0,3=0,7.

Рассмотренная теорема сложения применима только к несовместным событиям. Это положение очень важно; без него теорема сложения становится неверной, и применение ее приводит к грубым ошибкам.

Например: Пусть два стрелка стреляют в цель одновременно, причем для первого стрелка вероятность попадания в цель равна 0,8, а для второго-0,7. Какова вероятность поражения цели?

Если к решению этой задачи применить рассмотренную выше теорему сложения , то найдем, что искомая вероятность равна 0,8+0,7=1,5- результат явно нелепый, т.к. знаем , что вероятность события не может быть больше 1. К этому неверному ответу пришли потому, что применили теорему к такому случаю, в котором рассматриваются совместные события. Ибо вполне возможно, что оба стрелка поразят цель при одном и том же двойном выстреле.

Теорема сложения вероятностей в общем случае: вероятность суммы событий равна сумме вероятностей минус вероятность произведения этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Доказательство:

Пусть имеется n-исходов , которые благоприятствуют событию A, k-событию B, l -исходов событию AB, сумме благоприятствуют (m+k)-l

Если A и B несовместные события , то P(AB)=0

Полная группа событий.

Совокупность единственно возможных событий опыта называется полной группой событий. Пусть события A₁ , A₂ , , A_n образуют полную группу .

Следствие : Сумма вероятностей событий , образующих полную группу равна 1.

Доказательство:

Применяя теорему и учитывая , что любые 2 события полной группы несовместны и сумма этих событий - событие достоверное, мы получаем доказываемое следствие.

P(A₁ + A₂+  + A_n )=1,

P(A₁)+P(A₂)++P(A_n)=1,

Два единственно возможных события , образующих полную группу, называют противоположными.

Противоположными событиями являются например, выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты; попадание и промах при стрельбе в цель; событие "день дождливый" и "день ясный"; события "3 дня подряд шел снег" и " хотя бы в один из 3-х дней снега не было".

Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

=1

Переход к противоположному событию нередко облегчает вычисление вероятности. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события A. В этих случаях вычисляют вероятность , затем находят .

Вероятности противоположных событий принято обозначать p и q, следовательно p+q=1.

Пример.

Найти вероятность того, что при стрельбе в мишень , состоящую из центрального круга и 2-х концентрируемых колец, стрелок не попадет в мишень, если он производит 1 выстрел. Вероятности попадания в круг и кольца равна 0,2:0,15=0,1

Пусть событие A- непопадание, - попадание, тогда вероятность попадания равна сумме и равна 0,45, а искомая вероятность равна 1-0,45=0,55.