Сведения из комбинаторики.

1. Если имеется n-элементов одной группы и m-элементов другой группы, то число различных пар , содержащих один элемент из 1-й группы и 2-й группы равно m∙n.

2. Перестановками из n-элементов называются их соединения, различающиеся друг от друга только порядком, входящих в них элементов.

123n

Возьмем элементы A, B, C

Размещением из n-элементов по m называются такие множества, которые различаются друг от друга, самими элементами или их порядками.

Сочетаниями из n- элементов по m ( разделить на m! ) называются такие их соединения , которые различаются друг от друга самими элементами.

Статистическое определение вероятности.

В различных приложениях теории вероятности в естественно- научных и технических вопросах часто пользуются так называемым статистическим определением вероятности.

Допустим имеется возможность неограниченного опыта, в каждом из которых проявляется появление или не появление некоторого события, тогда отношение -называют относительной частотой события.

При очень большом числе опытов частота сохраняет почти постоянную величину, причем колебания ее становятся тем меньше , чем больше число опытов. Поэтому вероятностью события называют числовую характеристику, около которой колеблется частота появления события, при сохранении неизменных условий опыта.

Для примера рассмотрим результаты, полученные некоторыми экспериментами при бросании монеты:

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадение герба	Частота
Бюффон К.Пирсон К.Пирсон	4040 12000 24000	2048 6019 12012	0,5080 0,5016 0,5005

Как видно из таблицы , частота здесь приближается к числу (т.е. вероятность появления герба равна ).

Статистическое определение вероятности не является достаточно строгим с точки зрения математики; из него даже не видно, всякое ли случайное событие имеет вероятность . Однако статистическое определение вероятности является самым широким по числу охватываемых событий.

Пример:

Для установления уровня знаний учащихся по математике в пяти восьмых классах различных школ города была проведена контрольная работа, состоящая из 3-х вопросов. Из 200 учащихся , писавших работу , на 1-й вопрос дали верный ответ 180 учащихся , на 2-й -125 и на 3-й- 145. Какой следует считать вероятность того, что наудачу выбранный учащийся 8-го класса городской школы верно ответит на наудачу выбранный вопрос из контрольной работы?

Решение: На все вопросы получено верных ответов =180+125+145=450 ответов; всего ответов=2003=600 ответов. Следовательно, P= .

Геометрическое определение вероятности.

В некотором квадрате случайным образом выбирается точка, какова вероятность того, что эта точка окажется внутри области Д.

Д₁

Д

Д₂

, где S_Д- площадь области Д, S- площадь всего квадрата.

При классическом определенную нулевую вероятность имело только невозможное событие. Иначе обстоят дела при геометрическом определении . Действительно, рассмотрим внутри основного квадрата отрезок какой-нибудь прямой случайная точка вполне может попасть на этот отрезок, и следовательно , такое событие не является невозможным. Однако площадь отрезка равна 0, т.е. вероятность этого события, согласно геометрическому определению равна 0. Таким образом ,при геометрическом определении вероятности события с нулевой вероятностью могут осуществляться.

Замечание:

1. Пусть отрезок l составная часть отрезка z. На отрезок z наудачу поставлена точка . Предполагая , что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка z, определяют вероятность попадания точки на отрезок l по равенству.

Пример: Электрический провод, соединяющий пункты A и B , порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500м от пункта A, если расстояние между пунктами 2 км?

Решение:

2)Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру , которая составляет часть фигуры V:

.

Алгебра событий.

Объединением или суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного их данных событий.

Свойства суммы и произведения событий:

1. Переместительность (коммутативность).

2. Сочетательность (ассоциативность).

3. Распределительность (дистрибутивность).

4. Идемпотентность