Характеристические функции и их свойства.
Для центральной и предельной теоремы и для решения ряда других задач теории вероятности весьма удобным оказался метод характеристических функций, разработанный А.М. Ляпуновым.
Характеристической функцией
случайной величины x называется
математическое ожидание величины eiux
:
где u - действительный параметр; i - мнимая единица.
а)Для непрерывной случайной величины характеристическая функция совпадает с преобразованием Фурье от плотности распределения вероятностей P(x) :
;
Отсюда сразу следует оценка характеристической функции
,
т.е.
.
б)Для дискретной случайной величины
.
Рассмотрим некоторые свойства характеристических функций
I. Характеристическая функция однозначно определяет распределение вероятностей случайной величины.
Другими словами две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то они имеют также и одинаковые распределения.
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство:
Независимость случайных величин x
и y влечет за собой независимость
величин eiux и eiuy
, поэтому
, т.е.:
Таким образом, при изучении сумм независимых случайных величин проще оперировать с характеристическими функциями ( которые при этом перемножаются ) , чем с плотностями ( которые свертываются).
Конечно, переход к характеристическим функциям и обратно требует умения оперировать с преобразованиями Фурье ( существуют таблицы преобразований Фурье).
III. При умножении случайной величины x на число C характеристическая функция преобразуется следующим образом:
Если случайная величина x имеет всюду непрерывную плотность распределения P(x) , то эта плотность может быть выражена через характеристическую функцию с помощью обратного преобразования Фурье:
