Теорема Чебышева

Основная форма закона больших чисел.

Рассмотрим последовательность попарно независимые случайные величины х₁,х₂…….х_n. Пусть все они имеют математическое ожидание и дисперсии. M[x₁], D[x₁] и средняя арифметическая из первых n-величин.

Распишем

. Пусть все дисперсии x_n ограничены числом с, , тогда . Отсюда видно, что дисперсия от среднего → 0 при n → . Применяя к неравенство Чебышева:

или заменим .

Правая часть неравенства  0, при n  , а левая неотрицательна, потому из данного неравенства следует что , при n  

,

.

Таким образом , теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается довольно большое число попарно независимых случайных величин имеющих ограниченные дисперсии , то почти достоверно можно считать, что средняя арифметическая случайной величины сходятся по вероятности со средней арифметической их математического ожидания.

Частный случай – все случайные величины имеют одно и тоже M[x], тогда

M[x]=a,

, в частном случае

Сущность теоремы Чебышева

Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от их математических ожиданий( средних), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу- среднему арифметическому математических ожиданий.

Иными словами , отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно достаточно большого числа независимых случайных величин( дисперсии которых ограничены), т.е. ограничены рассеяния случайных величин) утрачивает характер случайной величины (т.к. можно предвидеть , какое значение примет среднее арифметическое ) .

Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева является ярким примером , подтверждающим учение диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Значение теоремы для практики.

Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение.

Так, на ней основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.

Например:1) оценивает качество данной массы зерна по сравнительно небольшой пробе ( проба содержит все же достаточно много зерен, чтобы проявлялось действие закона больших чисел);

2) о качестве кипы хлопка заключают по большому пучку хлопка, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Если случайная величина x представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин , влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то x имеет распределение близкое к нормальному.

Задача.

Для определения средней урожайности колхозного поля S=2000га взято на выборку по 1м² с каждого га. По каждому га поля дисперсия не превышает 10, вычислить вероятность того, что отклонение средней выборки урожайности от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

n = 2000га

с = 10

= 0,25

0,92