Как оценить коэффициент корреляции по данным наблюдения

Допустим, что произведено n-испытаний и в каждом отмечалось значение случайных величин. В результате получилось n-пар значений. Для наглядности эти пары значений изображают как координаты плоскости.

(х₁у₁)(х₂у₂)…………(х_ny_n).

О бразовавшаяся группа точек дает представление о наличии или отсутствии существенной корреляции между случайными величинами. Образовавшаяся совокупность точек сразу же даст представление о наличии или отсутствии существенной корреляции между случайными величинами.

Во всех трех случаях степень разбросанности связи различна, в первом случае – имеется сильная положительная корреляция, почти функциональная, во втором случае – слабая, тоже положительная, в третьем случае – полное отсутствие ее.

Совокупное действие многомерных случайных величин может приводить к результату почти не зависящему от случая.

"Закон больших чисел" Неравенство Чебышева.

Случайный характер величины проявляется в том, что нельзя предвидеть , какое именно из своих значений она примет в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Поскольку о каждой случайной величине мы располагаем весьма скромными сведениями, то оказалось бы, что вряд ли можно установить закономерности поведения суммы достаточно большого числа случайных величин. В действительности - это не так.

Оказывается , что совокупное действие многих случайных причин может приводить к результату, почти не зависящему от случая.

Так, при рассмотрении суммы большого числа случайных величин и их средних арифметических мы обнаруживаем, что частичное погашение отклонений при сложении вызывает уменьшение рассеяния средней арифметической и дает возможность предсказать ее поведение при неограниченном увеличении числа слагаемых, т.е. поведение суммы большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным; здесь необходимое прокладывает себе дорогу сквозь множество случайностей.

Для практики очень важно знание условий , при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений.

Закономерности такого рода и условия их возникновения составляют содержание ряда важных теорем, получивших общее название " закона больших чисел".

В исследовании этих вопросов значит роль сыграли работы выдающегося русского математика , академика П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников.

Закон больших чисел играет важную роль в практическом применении теории вероятности.

Свойство случайных величин вести себя ( при определенных условиях) практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами , предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Неравенство Чебышева оценивает вероятность того, что отклонение случайных величин х от М[x] не превзойдет заданное положительное число .. Для любой случайной величины справедлива

заданное положительное число (> 0)

Эта вероятность тем меньше, чем меньше дисперсия, в качестве характеристики рассеяния. Приведем доказательство для непрерывных случайных величин, известно, что

f(x) – плотность распределения.

Интеграл в правой части распространяется как интервалы от -∞ до а – и от а –  до ∞. В этих интервалах имеет место следующее неравенство. Возьмем данный интервал и возведем в квадрат , так как f(x) – неотрицательная функция f(x) > 0 умножим обе части на f(x) и проинтегрируем.

,

В силу положительности подинтегральной функции можно перейти к интегралу: -∞; +∞

(1)

другая формула неравенства (1). Если (х-а) < , то

(2)