Распределение суммы независимых случайных величины.

Пусть х и у – дискретные случайные величины. Суммы случайных величин – новая случайная величина, которая принимает все значения вида x_i + y_j с вероятностями P_ij как произведение вероятностей на P_ij(x = x_i+y = y_j) = P(x = x_i) = P(y = y_j)(x = x_i)

Если случайные величины х и у независимы то P_ij = P_i P_j

Пример: Пусть неизвестные случайные величины даны:

z = x + y

x	-1	0	1
P	0,2	0,3	0,5

y	1	2	3
P	0,2	0,4	0,4

x	0	1	2	3	4
P	0,04	0,14	0,3	0,32	0,2

	x	y	x+y	P
1	-1	1	0	0,04
2	0	1	1	0,06
3	1	1	2	0,1
4	-1	2	1	0,08
5	0	2	2	0,12
6	1	2	3	0,2
7	-1	3	2	0,08
8	0	3	3	0,12
9	1	3	4	0,2

П усть х и у непрерывные независимые случайные величины плотности распределения составляющие х f_x(x) f_y(y) закон распределения суммы х + у =z по определению F(z) – это вероятность того, что F(z) = P(z<z) построим прямую

x + y = z

;

Закон распределения суммы независимых случайных величин называется композицией их знаков распределения. Интегралы в правой части называются свертной функцией плотности распределения составляющих, обозначаются *.

Корреляционные зависимости

Две случайные величины х и у находятся в корреляционной зависимости, если изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой. Для характеристики зависимости между случайными величинами вводят понятие корреляционного момента или ковариации. Корреляционным моментом случайной величины х и у называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий

,

Для дискретной случайной величины (отношение) ковариация вычисляется

(1)

(2) (3)

Для непрерывных случайных величин

(4)

(5)

(6)

Из формулы (4) можно получить более простую формулу.

Получим

(7)

Теорема №1 Если случайные величины х и у независимы то их cov(x;y)=0

Доказательство: для непрерывной величины.

в формуле 4 заменим

центральный момент первого порядка равен нулю, следовательно и выражение равно нулю. Для независимых случайных величин необходимо чтобы cov=0, но обратно не верно.

Если ковариация двух случайных величин отлична от нуля - это есть признак зависимости между ними. cov характеризует не только зависимость величинами , но и их рассеивание. Если одна из величин весьма мало отклоняется от своего математического ожидания , то есть почти неслучайно, то cov – будет мала, какой бы тесной зависимостью не были бы связаны эти величины. Поэтому между случайными величинами вводят безразмерный коэффициент корреляции.