Функция от случайных величин

Определение: Под функцией (х) случайной величины Х понимают такую случайную величину у, которая принимает значения у=(х) каждый раз , когда величина Х принимает значение х.

1. Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина с возможными значениями х₁, х₂, х₃, …..х_n и вероятностями Р₁, Р₂, Р₃…..Р_n . Пусть для различных возможных значений x_i, значения функции (х_i) также различны. Возможными значениями случайной величины случайной величины у будут значения функции (х_i) тогда и только тогда, когда величина Х примет значение х_i, поэтому вероятности их равны, т.е.

Р(Y=(х_i))=P(X=x_i)=P_i

Т.к. событие - величина X приняла значение x_i влечет за собой событие-величина у приняла значение у_i=(х_i) и обратно эти события равносильны и следовательно равновероятностные.

Пример 1.

Случайная величина задана распределением

x	-2	0	1	3
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Найти закон распределения вероятностей величин х², 3х, х²+1.

у=х²

x2	4	0	1	9
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

у=3х

3x	-6	0	3	9
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

у=х²+1

x2+1	5	0	2	10
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Пример 2.

Дано распределение

x	-2	2	3
Р	0,4	0,5	0,1

Найти распределение величины у=х²

x	4	4	9
Р	0,4	0,5	0,1

Событие х²=4 есть сумма 2-х событий х=-2 и х=2, поэтому по правилу сложения вероятностей

Р(х²=4)=0,4+0,5=0,9

Тогда пишут

У	4	9
Р	0,9	0,1

Пример 3. даны две независимые случайные величины х и у.

Х	-1	0	1
Р	0,2	0,3	0,5

У	0	1	3
Р	0,1	0,3	0,6

Составить закон распределения величины z=(ху)

N	x	y	xy	P
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1	0 1 3 0 1 3 0 1 3	0,02 0,06 0,12 0,03 0,09 0,18 0,05 0,15 0,3	0 -1 -3 0 0 0 0 1 3

Р(z=0)=0,03+0,09+0,18+0,05+0,02+0,02+0,08+0,27=0,37

z	-3	-1	0	1	3
Р	0,12	0,06	0,37	0,15	0,3

Т.к. случай z=0 – несовместимое событие, то по теореме сложения Р(0) складываем.

2) Пусть аргумент x непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции у=(х), зная плотность распределения f(x) аргумента x.

Рассмотрим монотонную функцию от одной случайной величины. Пусть в интервале возможных случайных значений х (a;b) функция строго возрастает, т.е. если х₂>х₁ то у₂>у₁ .

Пусть аргумент x непрерывная случайная величина. Как найти распределение y=(x), зная плотность распределения f(x) случайного аргумента x. Рассмотрим монотонную функцию от одной случайной величены. Пусть в интервале возможных значений от а до b функция строго возрастает.

Кроме того , функция непрерывна вместе со своей 1-ой производной и имеет непрерывную дифференцируемую функцию, каждый внутренний интервал от x₁ до х₂ взаимно однозначно отображается на соответствующем интервале от у₁ до у₂ потому: Р(у₁<у<у₂)=Р(х₁<x<x₂) вероятности попадания случайной величены х и у это есть двумерная величена.

-двумерная величина.

В этом интервале заменяем х на функцию g(y) обратную к функции y=(x)

сравнивая с равенством (1) мы отмечаем, что подинтегральная функция – есть плотность распределения непрерывности случайной величены у.

в дифференцируемой форме .