Совместное распределение нескольких случайных величин

Для изучения системы случайных величин надо знать закон совместного распределения их вероятностей. Рассмотрим систему 2-х случайных величин x и y, т.е. двумерную случайную величину. Систему двух случайных величин рассматриваем как систему двух одномерных величин. Каждую из величин x и y называют компонентой двумерной случайной величины. Двумерную случайную величину называют дискретной если ее компоненты дискретны.

(x ; y)

(x_i ; y_j) – возможные

Случайная величина представляет систему двух случайных величин ее декартовых координат. Задание закона ее совместного распределения величин x и y означает задание вероятности попадания случайной точки величины x, y в точку x_i ; y_j . Вероятность Р(x=x_i ; y=y_j)=P_i,j , i=1……n; j=1……..m. Эти вероятности могут быть любыми неотрицательными числами, сумма которых равна 1. Т.к. события x=x_i ; y=y_j образуют полную группу. Т.е. закон распределения задан в виде таблицы с двумя входами. 1 столбец содержит все возможные значения x, а первая строка все возможные значения компоненты y, каждую вероятность P_i,j можно рассматривать как совмещение случайных событий x=x_i ; y=y_j .

Пример:

x y	y1	y2……….	ym
x1	P11	P12	P1m
x2	P21	P22	P2n
xn	Pn1	Pn2	Pnm

Две дискретные величины x, y называются независимыми, если для всех их возможных значений x_i ; y_j имеет место равенство

P_i,j =Р(Х=x_i )P( Y=y_j)

Это определение распределения и наибольшее число дискретных случайных величин.

Пример: В первом ящике 6 шаров, во вором также 6 шаров

I 1 шар с номером 1

2 шара с номером 2 Х - № из I ящика

3 шара с номером 3

II 2 шара с номером 1

3 шара с номером 2 Х - № из II ящика

1 шар с номером 3

Из каждого ящика взяли по шару, составить таблицу закона распределения системы случайных величин. Найти законы распределения составляющих.

x	1	2	3
P

y	1	2	3
P

	y1	y2	y3
x1 x2 x3
				1

Пусть (х, у) – двумерная непрерывная случайная величина. Двумерную случайную величину (х, у) – называют непрерывной, если ее компоненты непрерывны. Кроме того величины х, у обладают непрерывной плотностью распределения.

P(x<X; y<Y)=F(x,y)

Как дифференцируемая функция

Функция удовлетворяет 2-м основным свойствам f(x,y)0 и двойной интеграл

Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости х, у , может быть представлена в виде двойного интеграла:

Функция распределения может быть выражена, как:

F(x;y)=

График плотности распределения называют поверхностью распределения вероятности.

Пример: Найти функцию распределения двумерной случайной величины с плотностью распределения:

f(x;y)=e^-x-y (x0,y0)

P(0<x<1; 0<y<2)

Распределение компонент непрерывной случайной величины (х ; у).

З акон совместного распределения величин х и у полностью определяет законы распределения каждой из величин х и у. Пусть F(x;y) – плотность совместного распределения величин х и у. Найдем плотность распределения величины х. Рассмотрим вероятность попадания значения величины х в любой интервал от х₁ до х₂.

т.к. попадание абсциссы в интервале равносильно попаданию точки в вертикальную область D, то вероятности этих событий равны.

Данный интеграл можно записать и таким образом

Сравним с другим равенством. Согласно определению плотности распределения следует, что искомая плотность равна

,

Аналогично площадь распределения величины у будет равна

Эти понятия обобщаются для систем более 2-х величин.

Определение: Непрерывные случайные величины х и у называются независимыми, если плотность совместного распределения равна произведению плотности этих величин

-условие независимости.