Математические ожидания и дисперсии для некоторых дискретных и непрерывных распределений. Биноминальное распределение.

Если случайная величина x, которая принимает значения с вероятностью

где m=0,1….n называется биноминальным.

Найти математическое ожидание, дисперсию такой величины x, можно рассматривать как наступление некоторого события а, при n – независимых испытаний в каждом из которых вероятность наступления одна и та же и равна р. Пусть х_i – число наступлений событий а в i-том испытании.

где x_i имеет распределение

xi	0	1
Р	q	p

Тогда найдем математическое ожидание от x.

Из независимости испытания следует независимость x_i. Дисперсия от суммы равна сумме дисперсий.

D[x]=npq

и среднеквадратичное отклонение

[x]=

Пример: Вероятность отказа деталей за время испытания надежности равно 0,2. Найти М[x] и D[х], если испытанию больше подвергнуты 10 деталей.

n=10

p=0,2

M[x]=100,2=2 детали

1-р=q

1-0,2=0,8

D[x]0,80,2=1,6;

Распределение Пуасcона.

Случайная величина x, которая принимает значение m, с вероятностью , где m=0,1…m называется распределенной по закону Пуассона.

Найти М[x] и D[x].

ПРОПУСКАЮ --это формула Тейлора.

Таким образом, M[x]= ; a=np, где a- математическое ожидание.

D[x]=a.

Это свойство применяется на практике для решения вопросов правдоподобна ли гипотеза о том , что величина x распределена по закону Пуассона. Для этого определяют оценки математического ожидания, дисперсии, если их значения близки, это может служить доводом в пользу гипотезы о Пуассоновском распределении. Резкое различие этих характеристик напротив свидетельствует против гипотезы.

3. Показательное распределение.

Если случайная величина x имеет показатель распределения, если плотность распределения вероятность ее задана формулой.

Найдем математическое ожидание, величина непрерывная, то

;

.

На практике: по данным наблюдений находят оценки математического ожидания и дисперсии. Если оценки математического ожидания и дисперсии окажутся близкими одна к другой, то заключают, что изучаемая величина распределена по показательному закону.

4. Равномерное распределение

Если плотность распределения задана формулой

Найдем математическое ожидание

5. Нормальное распределение или закон Гаусса

Задается плотностью распределения вероятности

Числовые характеристики для нормированного стандартного распределения, когда =1, а=0.

,

График представляет собой четную функцию

Математическое ожидание равно нулю.

М[х]=0

;

D[x]=1; a=M[x];

; ;

Пусть случайная величина у имеет общее и нормальное распределение,

тогда ее (у) можно рассматривать как линейную функцию от случайной величины x, с нормированным распределением.

Найдем М[у]

M[y]=M[x]+M[a]=a

Также D[y]=D[_x]+D[a]=²D[х]+0=² – это есть дисперсия

а – центр распределения

² – дисперсия распределения

Понятие о моментах распределения

Рассмотренные нами две основные характеристики распределения - центр распределения математического ожидания и дисперсии - представляют собой частные случаи моментов распределения , введенных выдающимся русским математиком П.Л. Чебышевым для исследования законов распределения вероятностей.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс ( статистические моменты, моменты инерции и т.д.)

Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятности для описания основных свойств распределения случайной величины.

На практике чаще всего применяются моменты 2-х видов: начальные и центральные.

1. Начальные моменты – начальным моментом порядка к случайной величины x называется математическое ожидание величины x^k.

_k=M[x^k]

индекс "к" – указывает порядок момента;

₁=M[x];

₂=M[x²];

D[x]=₂-₁²;

Момент дискретной величины вычисляется по формуле

(1)

(2)

2. Центральным моментом порядка к случайной величины х, называется математическое ожидание величины x-M[x].

М_к=М[(Х-М[х])^к];

Для первой степени к=1;

М₁=М[(Х-М[х])¹]=М[х]-М[х]=0;

М₂=М[(Х-М[х])²]=D[х];

Также запишем для дискретной

;

;

Центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения:

П

0<Cs

Cs>0

усть имеем кривую распределения

Перенесем начало координат в точку математического ожидания x, тогда f(x) будет четной функцией относительно М(Х)=0

Из свойств интегралов следует ₃=0, аналогично и ₅, ₇, ₉.

Все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Это справедливо для нормального и равномерного распределения, поэтому отличие центральных моментов нечетных порядков от 0 свидетельствует об асимметрии распределения. Размерность в кубе, чтобы иметь безразмерный коэффициент асимметрии, для этого

, Cs – коэффициент асимметрии.

Знак коэффициента указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Если коэффициент меньше нуля, то кривая отклоняется влево, если больше нуля то вправо.

4. Центральный момент ₄ служит для характеристики сложности кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения. Соответствующий безразмерный коэффициент называют эксцессом и определяют по формуле

Д ля нормального распределения Е=0. Если <0, то кривая больше сглажена.

Задача.

Дана плотность распределения случайной величины x:

Найти начальный и центральный моменты, асимметрию и эксцесс.

;

Cs=0,

=

Cs= =0; D=

-кривая сглаженная.