Предмет теории вероятности.

В практической деятельности часто приходится сталкиваться со случайными событиями, т.е. событиями, которые могут произойти, но могут и не произойти по причинам, не поддающимся непосредственному учету в данных условиях.

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, т.к. число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятности не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, -она просто не в силах это сделать .

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий, независимо от их конкретной природы, подчиняется определенным закономерностям, а именно- вероятностным закономерностям.

Изучение вероятностных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, и составляет предмет теории вероятности.

Знание закономерностей , которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Методы теории вероятностей широко применяются в разнообразных отраслях науки и техники. Ее результаты используются в страховом деле, в теории ошибок наблюдений, в теории артиллерийской стрельбы, в теоретической физике, геодезии, астрономии, в теории автоматического управления, химии, общей теории связи и т.д.

Теория вероятности является теоретической основой математической и прикладной статистики, которая в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

За последние годы выделились в самостоятельные дисциплины теория надежности, теория массового обслуживания, и теория информации.

Методы теории вероятности все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствует их прогрессу.

Основные понятия

1.Испытание (опыт) событие. Теория вероятности имеет дело с экспериментами. "Эксперимент" понимается как осуществление указанных условий, объем и содержание которых должны быть очерчены заранее. Эксперименты также называют опытами, которые могут повторяться несколько раз. Возможные результаты, исходы экспериментов называют событиями. Следствие, событие - результат опыта. Событие обозначают большими латинскими буквами A,B,C…

Пример 1.

Брошена монета. Бросание монеты - это опыт. Возможные при этом события- появление на верхней стороне монеты ( после ее падения ) либо герба, либо надписи(цифры). Этот опыт можно повторить произвольное число раз.

Пример 2.

В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны - опыт. Появление шара определенного цвета - событие.

Применительно к событиям ставится следующая основная задача: предсказать , появится ли изучаемое событие при осуществлении некоторых наперед заданных условий.

Классификация событий.

1. Событие называется достоверным, если при выполнении определенных условий оно обязательно произойдет.

2. Событие , которое не может осуществиться при выполнении определенных условий- невозможное.

Например: При нормальном атмосферном давлении вода нагревается выше 100C(по Цельсию). Событие "вода превращается в лед"-невозможное.

3. Событие , которое при осуществлении определенных условий может произойти, а может и не произойти- случайное событие.

Например: С примерами случайных событий мы встречаемся на каждом шагу :

а)какой номер троллейбуса раньше подойдет к остановке , на которой мы ожидаем;

б)какая будет завтра погода;

в)какой стороной упадет подброшенная вверх монета.

Случайность событий не связана с личными качествами исследователями.

Виды случайных событий.

1. События A и B называются несовместными, если они не могут осуществиться в одном и том же опыте.

Например: Выпадение четного числа очков несовместно с выпадением нечетного числа очков при бросании игральной кости.

2. Несколько событий называются равновозможными, если они имеют одинаковую возможность осуществления.

Например: пусть в урне находятся синие, красные и белые шары одинакового размера и веса, неразличимые на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Появление любого шара- равновозможное событие.

3. Несколько событий называются единственно возможными, если появление одного и только одного из них, в результате опыта является достоверным событием.(Говорят также , что рассматриваемые события образуют полную группу событий).

Например: При бросании игральной кости полную группу образуют события, состоящие в выпадении одного, 2-х, 3-х, 4-х, пяти и шести очков.

Классическое определение вероятности.

Предсказать результат единичного опыта можно лишь для достоверных и невозможных событий. Случайность же события вообще не видна при единичном опыте: если событие произойдет, оно может показаться нам достоверным, если не произойдет- невозможным.

Теория случайных событий может появиться лишь при большом числе опытов, лишь для массовых событий.

Важным условием при этом является неизменность заданных условий. События, происходящие при одних и тех же условиях , называются однородными.

Практика показывает , что события, сами по себе случайные , в большой массе при наличии однородности начинают подчиняться некоторым неслучайным закономерностям. Эти закономерности получили название вероятностных , а наука, изучающая вероятностные закономерности - теорией вероятности.

Пусть производится некоторый опыт, допустимые результаты опыта назовем элементарными исходами. Пусть эти исходы равновозможны, несовместны и единственно возможны. Обозначим число всех исходов через n , тогда в силу равновозможности исходов возможность проявления каждого из них можно положить равным как . Те исходы опыта, при которых интересующее нас событие наступает называются благоприятствующими этому событию.

Пусть событие A- интересующее нас событие, а событию A благоприятствует m- исходов , отсюда вопрос, какова возможность появления события A.

-число(вероятность)

Определение: Отношение числа исходов , благоприятствующих событию A и числу всех несовместных , равномозможных и единственно возможных исходов называют вероятностью события A.

- это число дает количественную оценку возможности появления события A.

Свойства.

1. Вероятность достоверного события равна 1. .

2. Вероятность невозможного события равна 0.(m=0).

3. Вероятность случайного события есть положительное число, не большее 1.

Вероятность любого события:

< ;

.

Задача.

Одновременно бросаются 2 кубика, какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на 2-х кубиках равна 8.

Т.к. любое из возможного числа очков на одном кубике может сочетаться на другом, то общее число сочетаний n=36, эти случаи попарно несовместны и равновозможные.

,

Интересующему нас событию благоприятствует 5 случаев

.