Расчет состояний складской системы

Число уравнений в системе равно числу возможных состояний склада. В левой части уравнений стоят первые производные от вероятности пребывания склада в соответствующем состоянии по времени. В правых частях стоят алгебраические суммы произведений вероятностей состояний, в которые может придти склад из данного состояния (или из которых она может перейти в рассматриваемое состояние) на интенсивности этих переходов. Знак ( - ), если система переходит из рассматриваемого состояния в другое; знак ( + ) – если наоборот.

Руководствуясь этим правилом, можно составить систему дифференциальных уравнений для любого числа выполняемых на складе технологических операций и любого числа возможных состояний складской системы.

В частноси, для четырех основных состояний система дифференциальных уравнений имеет вид:

(1)

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент. Если, например, система при t = 0 была в состоянии k, то полагают P_k(0) = 1; P_i(0) = 0 при I ≠ k.

Предельным режимом для системы X называется случайный процесс, устанавливающийся в системе при t→∞.

Если все потоки событий, переводящие систему из состояний в состояние стационарны ( λ_ij = const ), общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями состояний P₁, P₂, …, P_n; . Чтобы найти эти вероятности, приравнивают обелевые части уравнений для вероятностей состояний (полагают все производные и решают полученную симму алгебраических уравнений. К ним добавляют нормировочные условия .

Для облегчения задачи решения системы вручную четверное уравнение заменяют нормировочным условием:

P₁ + P₂ + P₃ + P₄ = 1.

Система (1) – система обыкновенных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой системы имеет вид:

, (2)

где величины а_i, i=1,2,…,n являются корнями характеристического уравнения:

.

Коэффициенты , i=1,2,…,n вычисляют из начальных условий:

,

где W_δ – некоторое исходное состояние, для которого вероятность в начальных условиях принимают равной 1, остальные коэффициенты в формуле (2) выражают через коэффициенты , i=1,2,…,n путем подстановки в исходную систему однородных уравнений (1).

Список использованных источников

1.Выжигин А.Ю. Гибкие производственные системы.-2009.-С.124-144.

1