3. Разложение в степенной ряд элементарных функций

Чтобы разложить функцию в степенной ряд, необходимо:

1, Найти производные f(x). . . f⁽ⁿ⁾(x). . .

2. Вычислить значения f(а), f(а), . . . f⁽ⁿ⁾(а), . . .

3. Составить формально степенной ряд

4. Найти интервал сходимости данного ряда.

А) Разложение функции ех

1. Найдем производные всех порядков

f(x) = е^х, . . . . f⁽ⁿ⁾(x) = е^х, . . . .

2. Найдем: f(0) = 1, f(0) = 1, . . . . f⁽ⁿ⁾(0) = 1, . . . .

3. Составим ряд

4. Найдем область сходимости этого ряда

.

Ряд сходится при любом х.

Итак, на всей числовой оси имеем

б)Разложение f(x) = sin x

1. Находим производные:

2. Найдем значения их при х = 0:

f(0) = 0, f ^I(0) = 1, f ^II (0) = 0, f ^III (0) = – 1, f ^IV(0) = 0, f ^V(0) = 1, f ^VI(0) = 0, f ^VII(0) = –1, …

3. Составим ряд

4. Найдем область сходимости полученного ряда.

.

Ряд сходится при любом х, значит, на всей числовой оси имеем

.

(Разложение функций Cos x, ln (1+x), arctg x, (1+x)^m законспектировать на самостоятельной работе.)

в) Разложение функции f(x) = cos x

Так как cosx = (sinx)^, то разложение cosx в ряд получим почленным дифференцированием ряда для sinx, при этом область сходимости не изменится.

, или

, – < x < .

г) Разложение функции f(x) = (1 + x)^m (биномиальный ряд), где m – любое действительное число

1. f^/(x) = m (1 + x)^m-1, f^//(x) = m (m – 1)(1 + x)^m–2,

f^///(x) = m (m – 1)(m – 2)(1 + x)^m–3,

f^IV(x) = m (m – 1)(m – 2)(m – 3)(1 + x)^m–4, …

2. f(0) = 1, f^/ (0) = m, f^//(0) = m(m – 1), f^///(0) = m (m – 1)(m – 2)… ,

f⁽ⁿ⁾(0) = m (m – 1)(m – 2)…(m – n + 1), …

3. Составим ряд

4. Найдем область сходимости ряда:



.

д) Разложение функции f(x) = ln(1 + x)

1. Найдем производные:

f ^I(х) = (1 + х)^–1, f ^II(х) = –(1 + х)^–2, f ^III(х) = 1  2  (1  х)^–3, f^IV(x) = –1  2  3(1 + x)^–4,

f^V(x) = 1  2  3  4(1 + x)^–5, …, f⁽ⁿ⁾(x) = (–1)ⁿ⁺¹ (n– 1)! (x + 1) ^–n.

2. Найдем их значение при х = 0:

f(0) = ln1 = 0, f^/(0) = 1, f^//(0) = –1!, f^///(0) = 2!, f^IV(0) = –3!, f^V(0) = 4!,…,

f⁽ⁿ⁾(x) = (–1)ⁿ⁺¹ (n– 1)!, … .

3. Составим ряд

.

4. Найдем область сходимости ряда:

.

Исследуем границы:

1. х = –1, –– расходится как гармонический ряд;

2. х = 1, –– сходится по признаку Лейбница.

Итак, при –1 < x 1 имеем

е) Разложение функции f(x) = arctg x

Запишем степенной ряд для функции

этот ряд сходится в интервале – 1< x < 1.

Следовательно, его можно интегрировать по любому промежутку, содержащемуся в указанном интервале.

пусть 0 < x < 1, тогда

для любого х  –1; 1.

Вывод. Стандартные разложения можно применять для разложения в ряды некоторых сложных функций.

4. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды находят широкое применение в приближенных вычислениях. С помощью степенных рядов находят приближенные значения определенных интегралов, решают дифференциальные уравнения и т. д. Основой для таких вычислений служит замена бесконечной суммы (ряда) частичной суммой, отбрасывая остаточный член, т.е. вместо S = S_n + R_n берут S  S_n , например, .

При этом погрешность определяется величиной R_n, поэтому, если имеем дело со знакочередующимся рядом, то |R_n| по теореме Лейбница не превосходит величины первого "отброшенного" члена.

Если ряд не является знакочередующимся, значит, надо использовать, например, форму Лагранжа для остаточного члена.

Ряды

, (7)

sin x = x - - (8)

cos x = 1  (9)

можно использовать для вычисления значений e^x, sinx и cosx при любых значениях x с любой степенью точности, поскольку указанные равенства выполняются на всей оси x.

Если в качестве приближённых значений этих функций брать частичные суммы рядов (7) – (9) соответственно, то допускаемые при этом погрешности особенно просто оцениваются в случае рядов (8) и (9), в силу признака Лейбница погрешность не превосходит первого из отброшенных членов.

Ряд для логарифма

ln (1+x) = x - -1 < x  1, (10)

хотя и знакопеременный, но сходится медленно, а при x > 1 расходится. Чтобы ускорить сходимость ряда и сделать возможным вычисление логарифмов чисел, больших единицы, из разложения (10) вычитают разложение

ln (1-x) = -x -

Это даёт

ln ( ) = 2x (1+ ). (11)

Полагая в (11) x = , получают:

ln = (12)

Отправляясь от ln 1 = 0, можно с помощью ряда (12), сходящегося достаточно быстро, найти логарифмы всех натуральных чисел.

Ряд для арктангенса arctg x = x - (13)

можно использовать, например, для вычисления числа  с любой степенью точности. Именно, полагая в (13) x = 1, получим

В силу знакопеременности этого ряда легко оценивается погрешность, допускаемая при замене ряда частичной суммой.

Пример. Вычислить интеграл с точностью до  = 0,001.

Решение.

Используя разложение (7), получим разложение подынтегральной функции

Интегрируем полученное равенство на промежутке[0; 1].

=

= =

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Если вместо него взять 3 первых слагаемых, то "отброшенная" часть (тоже – сходящийся ряд) не превосходит по величине первого "отброшенного" слагаемого, т.е. .

Итак, .

Вывод: При разложении функций в степенные ряды удобно применять стандартные разложения.