3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Так как в области сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то рассмотрим ряд .

Применим к этому ряду признак Даламбера

, ,

,

где .

По признаку Даламбера ряд сходится, если

интервал сходимости.

Радиус сходимости R = , тогда (-R; R) – интервал сходимости, где

.

Пример 2. Найти интервал сходимости ряда .

Решение.

 |x| < 3,

т. е. R = 3, а интервал сходимости –-3 < x < 3.

Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка:

1) х = –3. Получим знакочередующийся ряд ,

который сходится по признаку Лейбница;

2) х = 3. Получим знакоположительный гармонический ряд , который, как известно, расходится.

Таким образом, область сходимости – полуинтервал -3  х < 3.

Пример 3. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение , ,

.

Следовательно, ряд сходится при любом х, т. е. –  < x < , R = .

Таким образом, исследование сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости сводится к применению признаков сходимости числовых рядов.

Разложение функций в ряды

1. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

До сих пор мы, имея конкретный степенной ряд, определяли его область сходимости и изучали свойства его суммы. Теперь мы переходим к решению обратной задачи.

Задается некоторая функция f(x) и требуется узнать, может ли она в некотором промежутке изменения аргумента х служить суммой степенного ряда или, как говорят, может ли она "быть разложена" в степенной ряд

f(x) = а₀ + а₁ (х – х₀) + а₂ (х – х₀)² + . . . + a_n (х – х₀)ⁿ + . . . (1)

Если такое разложение возможно, то необходимо уметь отыскать коэффициенты а₀, а₁, а₂, . . . a_n… этого ряда и определить область его сходимости.

В чем же состоит практическая и теоретическая значимость поставленной задачи? Мы знаем, что частичными суммами степенного ряда служат полиномы, т.е. функции, наиболее простые по своей аналитической природе. Для вычисления значений таких функций требуется производить только операции сложения, вычитания и умножения. Поэтому, если функцию f(x), сложную по своей природе, удается разложить в степенной ряд, изучение ее свойств и вычисление ее значений может быть сведено к изучению свойств и вычислению значений полинома некоторой степени

Р_n(x) = а₀ + а₁ (х – х₀) + а₂ (х – х₀)² + . . . + a_n (х – х₀)ⁿ

с точностью, достаточной для практических расчетов.

Указанный путь изучения функциональной зависимости с помощью аппарата теории рядов оказался весьма эффективным. Сумма всякого степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри области сходимости этого ряда. Степенной ряд вида (1) подстановкой x – x₀ = t превращается в ряд вида

а₀ + а₁х + а₂х² + . . . + a_nхⁿ + . . .. (2)

Определение. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд (2) на интервале (–R; R), если на этом интервале данный степенной ряд сходится и его сумма равна f(x). При этом предполагается, что интервал (–R; R) не вырождается в точку.

Аналогичное определение можно дать для разложения функции в ряд (1).

Если интервал сходимости ряда (2) состоит из всех точек, для которых

|x|< R, то интервал сходимости ряда (1) состоит из всех точек, для которых

|x – x₀|< R. То есть интервал сходимости ряда (1) получается путем сдвига интервала сходимости ряда (2) на x₀ вправо (если x₀ < 0, то сдвиг происходит влево).

Теорема 1. Если в некоторой окрестности точки а, т.е. в некотором промежутке (a – R, a + R) функция f(x) есть сумма степенного ряда , т.е.

f(x) = а₀ + а₁(х – а) + а₂(х – а)² + . . .+ а_n(х – а)ⁿ +… = , (3)

то коэффициенты этого ряда выражаются через f(x) и число а следующим образом:

а₀ = f(а), (n = 1, 2, 3).

Доказательство.

Как было указано ранее, степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать бесконечное число раз, причем в результате получается ряд, имеющий тот же интервал сходимости, что и исходный ряд. Дифференцируя ряд (3) бесконечное число раз, получим тождества, справедливые при всех х из интервала сходимости. Выпишем эти тождества:

f(x) = а₀ + а₁(х – а) + а₂(х – а)² + . . . + а_n(х – а)ⁿ + . . . ,

f(x) = а₁ + 2а₂(х – а) + 3а₃(х – а)² + . . . + nа_n(х – а)^n–1 + . . .,

f (x) = 1  2а₂ + 2  3  а₃(х – а) + . . .+ (n – 1) nа_n(х – а)^n–2 +. . . ,

f (x) = 1  2 3  а₃ + 2  3  4  а₄(х – а) + . . .+ (n – 2) (n – 1) nа_n(х – а)^n–3 +. . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

f⁽ⁿ⁾ (x) = 1  2 3 . . .(n – 1) na_n + 2  3 . . .n(n + 1) a_n+1 (х – а) +. . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Полагая в этих тождествах х = а, получим:

а₀ = f(а), а₁ = f(а), , , . . . , … . (4)

Теорема доказана.

Поставляя найденные значения коэффициентов в равенство (3), будем иметь:

(5)

Определение. Степенной ряд вида

независимо от того, сходится ли он и чему равна его сумма, называется рядом Тейлора функции f(x).

В частном случае при а = 0 ряд (5) принимает вид

.

Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x).