Вывод. Основным достаточным признаком сходимости знакопеременного числового ряда является признак Лейбница.

Степенные ряды

1. Понятие функционального ряда. Область сходимости

Определение. Функциональным рядом называется ряд, составленный из членов бесконечной последовательности функций u₁(х), u₂(х), . . . u_n (х), . . . , имеющих общую область определения.

Такой ряд можно записать в виде

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . = .

Суммы вида S_n = u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) называются частичными суммами данного функционального ряда.

При каждом фиксированном х = х₀ из области определения функции u_n(х) функциональный ряд становится числовым рядом:

u₁(х₀) + u₂(х₀) + . . . + u_n (х₀) +. . . . (1)

В зависимости от х₀ этот числовой ряд может оказаться сходящимся или расходящимся.

Определение. Точка х = х₀, в которой числовой ряд (1) сходится, называется точкой сходимости функционального ряда.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости ряда.

В точках, принадлежащих области сходимости функционального ряда существует предел S_n(x) при n  .

Сумма функционального ряда является функцией от х в области сходимости ряда

S(x) = u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . .

Если ряд сходится, то R_n(x) = S(x) – S_n(x) остаток ряда.

Равномерная сходимость

Определение. Сходящийся в промежутке [a, b] функциональный ряд

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . =

называется равномерно сходящимся в этом промежутке, если для любого >0 существует номер N, не зависящий от x и такой, что для всех n>N справедливо неравенство одновременно для всех значений x рассматриваемого промежутка.

Введение в рассмотрение класса равномерно сходящихся рядов целесообразно потому, что последние обладают рядом чрезвычайно важных свойств, заключающихся в непрерывности суммы ряда, в возможности дифференцирования и интегрирования функциональных рядов.

Существует несколько достаточных признаков равномерной сходимости функциональных рядов. Мы рассмотрим один из них.

Признак Вейерштрасса. Ели члены функционального ряда в некотором промежутке [a, b] не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами

с₁ + с₂ + . . . + с_n +. . . = ,

т. е. если (n = 1, 2, . . .) для всех х промежутка [a, b], то данный функциональный ряд сходится в этом промежутке абсолютно и равномерно.

Числовой ряд в таком случае называют мажорирующим рядом или числовой мажорантой для функционального ряда в промежутке [a,b].

Пример 1. Доказать, что ряд равномерно сходится на всей числовой оси.

Решение

Так как |sin nx| ≤ 1, то для всех х выполняется неравенство

(n = 1, 2, . . .),

т.е. каждый член ряда не превышает соответствующего члена сходящегося числового ряда . А этот ряд, как известно, сходится. Поэтому в соответствии с определением заключаем, что данный ряд есть равномерно сходящийся ряд.

Очевидно, равномерно сходящимися будут и такие ряды ,

, если только р > 1.

Приведем без доказательства теоремы о свойствах равномерно сходящихся рядов, из которых станет ясной ценность понятия равномерной сходимости ряда.

Теорема 1. Всякий функциональный ряд, равномерно сходящийся в промежутке [a, b], сходится абсолютно в любой точке этого промежутка.

Эта теорема устанавливает связь между равномерной и абсолютной сходимостью функциональных рядов.

Теорема 2. Если члены равномерно сходящегося в промежутке [a, b] функционального ряда

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . =

непрерывны, то сумма ряда также непрерывна в промежутке [a, b].

Таким образом, первое свойство конечных сумм целиком переносится на равномерно сходящиеся ряды.

Теорема 3. Если члены равномерно сходящегося на промежутке [a, b] функционального ряда

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . = ,

непрерывны на этом промежутке, то ряд можно почленно интегрировать. Это значит, что если х₁ и х₂ – любые две точки промежутка [a, b], то

Если ряд u₁(х) + u₂(х) + … +u_n (х) +…, где u₁(х), u₂(х), …, u_n (х), … – непрерывные функции, равномерно сходится на промежутке [a, b] и имеет сумму S(x), то ряд сходится и имеет сумму , где х₁, х₂  [a;b].

Теорема 4. Если члены сходящегося ряда

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . =

имеют непрерывные производные на промежутке [a, b] и ряд, составленный из этих производных

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n(х) +. . . = ,

является равномерно сходящимся на промежутке [a, b], то и его сумма равна производной от суммы данного ряда:

[u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . .]_x = u₁(х) + u₂ (х) + . . . + u_n (х) +. . . .

Теорема 5. Если равномерно сходящийся на промежутке [a, b] ряд

u₁(х) + u₂(х) + . . . + u_n (х) +. . . =

умножить на ограниченную функцию (х), то полученный ряд

(х)u₁(х) + (х)u₂(х) + . . . + (х)u_n (х) +. . . =

будет равномерно сходящимся на промежутке [a, b].

Таким образом, равномерная сходимость функциональных рядов определяет основные важные свойства этих рядов.