Взаимное расположение прямых на плоскости
Пусть две прямые
и
заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами
и
,
соответственно, то есть
;
.
Требуется найти угол
,
на который надо повернуть прямую
,
вокруг точки их пересечения до совпадения
с прямой
.
(См. рис.27)
По теореме о внешнем
угле треугольника, имеем:
или
.
Если
,
то
.
Но так как
и
,
то
(3.8)
Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.
Пример.
Найти угол между прямыми
и
.
Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых и в виде уравнений с угловыми коэффициентами и , соответственно:
или
,
значит
;
,
значит
.
Подставляя найденные значения и в формулу (3.8), находим угол между прямыми и :
,
откуда
.
Ответ: .
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть
.
Если прямые
;
параллельны, то
и
,
следовательно, из формулы (3.8) получаем,
что
,
то есть
.
И обратно, если прямые
и
таковы, что
,
значит
,
то есть прямые параллельны.
Если прямые
и
перпендикулярны, то
,
следовательно
,
откуда
.
Справедливо и обратное утверждение.
Пример. Составить
уравнение прямой
,
проходящей через точку
и перпендикулярной прямой
.
Решение. Перепишем
общее уравнение прямой
в виде уравнения прямой с угловым
коэффициентом
:
,
,
,
значит
.
Прямые
и
перпендикулярны по условию, значит
,
следовательно,
.
Подставляя в
уравнение (3.5)
,
,
находим искомое уравнение прямой
:
Ответ:
.
§4. Функция одного переменного. Основные понятия
Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.
Пусть
– некоторое множество действительных
чисел. Если каждому числу
– поставлено в соответствие по какому-то
правилу или закону
единственное действительное число
,
то говорят, что на множестве
задана функция одного переменного и
обозначается:
.
Число
называется аргументом функции,
– значением функции, множество
– областью определения функции, множество
всех значений
,
которые соответствуют числам множества
–
областью значений функции –
.
(См. рис. 28)
Графиком
функции
называется множество всех точек
плоскости
таких, что
,
а
,
то есть
.
Далее будем задавать
функцию одного переменного аналитически,
то есть с помощью формулы. В этом случае
под областью определения
функции понимают множество всех тех
значений
,
для которых данная формула имеет смысл.
Пример.
Формула
задает
функцию
одного переменного
.
Поскольку данная формула имеет смысл
при всех действительных значениях
переменной
,
то область определения
данной функции есть множество всех
действительных чисел
,
то есть
.
Так как квадрат действительного числа
– число неотрицательное, то множество
значений
данной функции
есть множество всех неотрицательных
чисел, то есть
.
Графиком функции
является парабола в плоскости
с вершиной в точке
,
ветви которой направлены в положительном
направлении оси
.
(См. рис. 29)
Пусть задана
функция
,
,
такая, что для
,
,
то есть для любого
найдется единственное
такое, что
или
.
Тем самым определена функция
,
называемая функцией, обратной к функции
.
(См. рис. 30)
Покажем как строим
график обратной функции. Если для
обратной функции обозначить аргумент
через
,
а функцию через
,
то графики функций
и
совпадают. Разница состоит лишь в том,
что для функции
ось
– ось абсцисс, а ось
– ось ординат, а для функции
роль осей меняется.
Если же обозначить
аргумент обратной функции через
,
а значение функции через
,
то получается иной график. Именно, нужно
перевести друг в друга оси
и
.
Это делается с помощью отражения всей
плоскости
относительно биссектрисы первого
координатного угла, то есть прямой
.
При этом отражении график функции
переходит в график обратной функции
.
Итак, график
обратной функции симметричен графику
заданной функции относительно прямой
.
(См. рис.31)
Пример. Функция
является обратной функцией к функции
.
(См. рис. 32)
