Общее уравнение прямой.
Пусть в прямоугольной
декартовой системе координат на плоскости
задана точка
и вектор
.
Требуется составить уравнение прямой
,
проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
.
(см. рис. 13)
Выберем произвольную
точку
на прямой
.
Тогда вектор
лежит на прямой
.
Так как прямая
перпендикулярна вектору
по условию, то и вектор
перпендикулярен вектору
,
а значит
,
откуда
.
(3.1)
Уравнение (3.1)
является уравнением прямой на плоскости,
проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
.
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор является вектором нормали прямой .
Пример. Составить
уравнение прямой
,
проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
,
если
и
.
Решение. Находим координаты вектора , являющимся вектором нормали прямой :
.
Подставляя в
уравнение (3.1) координаты точки
,
то есть
,
и координаты вектора
,
то есть
,
,
находим искомое уравнение прямой
:
:
или
:
или
:
Ответ: .
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:
или
.
Обозначив
,
получаем общее уравнение прямой на
плоскости вида:
.
(3.2)
Исследуем уравнение (3.2):
1.
При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
.
Разделив обе части
последнего уравнения на
или
,
обозначив
,
получаем уравнение прямой на плоскости
в «отрезках» вида:
,
(3.3)
где
и
величины отрезков, которые прямая
отсекает от осей координат (см. рис. 14).
Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).
Решение. Пусть
уравнение искомой прямой
имеет вид (3.3), то есть
.
Так как
по условию, то уравнение (3.3) можно
переписать в виде:
или
.
Поскольку точка
лежит на прямой
,
то подставляя ее координаты
,
в последнее уравнение, находим:
,
откуда
.
Следовательно,
– уравнение искомой прямой.
Ответ:
.
Пример. Построить
прямую
.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):
;
;
;
.
Отметим на оси
точку
,
а на оси
точку
и через эти точки проведем прямую. Это
и будет искомая прямая (см. рис. 16).
Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
или
.
Обозначив
,
,
получим уравнение прямой с угловым
коэффициентом
:
(3.4)
Угловой коэффициент
равен тангенсу угла
наклона прямой
к положительному направлению оси
(см. рис. 17), то есть
.
Из рисунка 17
следует, что для любой точки
выполняется равенство
.
Пример. Составить
уравнение прямой
,
проходящей через точку
и образующей с положительным направлением
оси
угол
.
Решение. Пусть
искомое уравнение прямой
запишется в виде (3.4)
.
По условию
,
значит
,
следовательно
.
Поскольку точка
лежит на прямой
,
то подставляя в последнее уравнение
,
находим:
,
откуда
.
Таким образом,
искомое уравнение прямой
имеет вид:
.
Ответ: .
Пусть прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
,
где – пока неизвестная величина.
Так как точка
лежит на прямой
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
прямой
,
то есть имеет место равенство:
,
откуда
.
Подставляя значение
в уравнение
,
получаем:
или
(3.5)
Уравнение (3.5) с различными значениями называется также уравнением пучка прямых с центром в точке .
Из этого пучка
нельзя определить лишь прямую, параллельную
оси
,
так как
.
Пример. Составить
уравнение прямой
,
проходящей через точку пересечения
прямых
и
и образующей с положительным направлением
оси
угол
.
Решение. Координаты
точки
пересечения прямых
и
находим из системы уравнений этих
прямых:
Сложив эти уравнения
в данной системе, получаем:
,
откуда
.
Тогда
.
Итак, координаты
точки
.
По условию
,
значит
.
Подставляя в уравнение (3.5)
и
,
находим искомое уравнение прямой
или
или
.
Ответ:
.
2. При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
.
Это уравнение
прямой
,
проходящей через начало координат –
точку
и точку
.
(См. рис. 18)
Пример. Построить
прямую
.
Решение. Уравнение
прямой
является общим уравнением прямой на
плоскости
,
,
,
проходящей через точку
и точку
.
(См. рис. 19)
3. При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
или
.
Это уравнение прямой на плоскости
параллельной оси
и проходящей через точку
.
(См. рис. 20)
Пример. Построить
прямую
.
Решение. Уравнение
прямой
является общим уравнением прямой на
плоскости
,
,
,
параллельной оси
и проходящей через точку
.
(См. рис. 21).
4. При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
или
.
Это уравнение
прямой на плоскости параллельной оси
и проходящей через точку
.
(См. рис. 22)
Пример. Построить
прямую
.
Решение. Уравнение
прямой
является общим уравнением прямой на
плоскости
,
,
параллельной оси
и проходящей через точку
.
(См. рис. 23)
5. При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
или
.
Это уравнение координатной оси
(См. рис. 24)
6. При
,
,
уравнение (3.2) примет вид:
или
.
Это уравнение координатной оси
.
(См. рис. 25)
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.
Выведем уравнение
прямой
,
проходящей через две заданные точки
и
на плоскости
в
прямоугольной декартовой системе
координат. (См. рис. 26)
Поскольку точка
лежит на прямой
то, подставляя
и
в уравнение (3.5), находим, что уравнение
прямой
имеет вид:
,
(3.6)
где – пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит и через точку , то ее координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть:
,
откуда
.
Подставляя найденное
значение
в уравнение (3.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки
и
:
(3.7)
Пример. Составить
уравнение прямой
,
проходящей через точки
и
.
Решение. Подставляя
в уравнение (3.7)
,
и
,
,
находим искомое уравнение прямой
:
;
;
;
,
следовательно,
.
Ответ:
.