Определители

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число и вычисляется по формуле: .

Пример. Вычислить .

Решение. .

Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число и вычисляется по формуле:

.

Пример. Вычислить .

Решение.

.

Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.

Системы линейных уравнений

Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:

(1.1)

где , , .

Составим и вычислим главный определитель системы (1.1):

,

тогда если , то система (1.1) имеет единственное решение , которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомогательные определители , , системы (1.1):

, , .

Далее, по формулам Крамера, находим:

, , .

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

Пример. Решить по правилу Крамера систему .

Решение. Составим и вычислим главный определитель данной системы:

.

Так как , то данная система имеет единственное решение.

Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:

;

;

.

Далее, по формулам Крамера, находим:

, , .

Делаем проверку найденного решения :

Ответ: .

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с чертой или стрелкой сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и обозначается: или .

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: , , , .

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть .

Два вектора называются равными, если изображающие их отрезки имеют одинаковую длину и они сонаправлены.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при чем конец вектора и начало вектора совмещаются и обозначается: .

Пусть даны вектора и . (См. рис. 2)

Чтобы их сложить, то есть найти сумму этих векторов, необходимо нарисовать и в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора – второго слагаемого, совпало с концом вектора – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора с концом вектора будет суммой в том же масштабе, в котором представлены и .

Противоположным вектору называется такой вектор , который при сложении с вектором дает нуль-вектор, то есть .

Заметим, что разностью векторов и является сумма вектора и вектора , противоположного вектору , то есть .

Произведением вектора на число называется такой вектор , направление которого совпадает с вектором , если и противоположно направлению вектора , если ; длина же вектора в раз «больше» длины вектора , то есть

.

Пусть дан вектор (см. рис. 4), тогда векторы , изображены на рисунке 5.