Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (См. рис. 62).

График функции называется выпуклым вверх в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (См. рис. 63).

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:

если в интервале , то график функции является выпуклым вниз в этом интервале; если же , то в интервале график функции – выпуклый вверх.

Пусть функция дифференцируема в интервале и . Точку графика функции называют точкой перегиба этого графика, если существует такая – окрестность точки оси , в границах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).

Необходимое условие перегиба функции в точке : если – точка перегиба функции и функция имеет в некоторой – окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то .

Достаточное условие перегиба функции в точке : если функция непрерывна в – окрестности точки , имеет в точке конечную или бесконечную определенного знака производную , а функция определена в – окрестности точки , кроме быть может самой точки , и меняет знак при переходе через эту точку, то – точка перегиба функции .

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции .

Решение. Область определения данной функции есть множество всех действительных чисел , то есть .

Находим:

;

.

Используя необходимое условие перегиба, находим:

, откуда – точка «подозрительная» на точку перегиба.

Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точку на области и определим знаки слева и справа от точки .

Так как и при переходе через эту точку меняет знак, то – точка перегиба данной функции.

Так как для любого , то в интервале функция выпукла вниз.

Так как для любого , то в интервале функция выпукла вверх.

Основные требования к результатам исследования и построения графика:

1) все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;

2) все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;

3) масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;

4) на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;

5) обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;

6) обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;

7) обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.

Пример. Построить график функции .

Решение.

1. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел , кроме , то есть .

2. Поскольку и и , то функция не является четной и нечетной, то есть данная функция общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку , то – уравнение вертикальной асимптоты графика данной функции .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой :

;

.

Следовательно – уравнение горизонтальной асимптоты графика данной функции .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Используя необходимое условие экстремума, находим , откуда или ; не существует , откуда .

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения и определяем знак в каждом из четырех интервалов.

Так как и при переходе через эту точку меняет знак минус на плюс, то – точка минимума функции , .

Так как и при переходе через эту точку меняет знак плюс на минус, то – точка максимума функции , .

Так как при , , , то в интервалах , , функция монотонно убывает.

Так как при , то в интервале функция монотонно возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.

.

Итак, .

Используя необходимое условие перегиба, находим , или , откуда ; не существует , откуда .

Используем достаточные условия перегиба.

.

Так как точки и при переходе через эти точки меняет знак, то – точки перегиба графика функции .

Так как при , , то в интервалах , функция выпукла вниз.

Так как при , , то в интервалах , функция выпукла вверх.

6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными осями:

, откуда ;

.

7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).

Контрольные задания

Задание 1

Найти матрицу , если:

1.01. , .

1.02. , .

1.03. , .

1.04. , .

1.05. , .

1.06. , .

1.07. , .

1.08. , .

1.09. , .

1.10. , .

Задание 2

Решить систему по правилу Крамера.

2.01. .

2.02. .

2.03. .

2.04. .

2.05. .

2.06. .

2.07. .

2.08. .

2.09. .

2.10. .

Задание 3

Дана пирамида . Найти:

1) угол грани ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды , если

3.01. , , , .

3.02. , , , .

3.03. , , , .

3.04. , , , .

3.05. , , , .

3.06. , , , .

3.07. , , , .

3.08. , , , .

3.09. , , , .

3.10. , , , .