Вывод распределения по Максвеллу

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл.

Рассмотрим пространство скоростных точек [каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат ( в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема (d d d ). Так как газ стационарный, количество скоростных точек в (d d d ) остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.

dP( ) = ( ) d , dP( ) = ( ) d , dP( ) = ( ) d .

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от y и z - компонент.

dP( ) = ( ) ( ) ( ) d d – фактическая вероятность нахождения скоростной точки в объёме (d d ), где f( ) = ( ) ( ) ( ).

ln f( ) = ln ( ) + ln ( ) + ln ( ) | .

= ,

= ,

= .

Правая часть не зависит от и , значит и левая от и не зависит. Однако и равноправны, следовательно, левая часть не зависит также и от . Значит, данное выражение может лишь равняться некоторой константе.

=

=

= A .

d = 1 A d = A = 1 = .

Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

< > = kT,

где k=1,38• 10^-23 – постоянная Больцмана; = Ввиду равноправия всех направлений: < = < = < = < = .

Чтобы найти среднее значение , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

= d = d = .

Отсюда найдём : = .

Функция распределения плотности вероятности для аналогично для ): = .

Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости лежат в шаровом слое радиуса и толщины d , и (d d d ) – объем этого шарового слоя.

dP ( ) = ( ) ( ) ( ) d d .

dP ( ) = d d d

Учтём, что: dP ( ) = dP( ); d d d = 4 d , получим:

dP( ) = 4 d ,

где F( ) = 4 . Тогда окончательно получим: dP( ) = F( ) d .

Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности F ( , которая и является распределением Максвелла.

Границы применимости

Условия применимости распределения Максвелла:

1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.

2. Изотропная система.

3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).

Относительное число молекул , со скоростями, лежащими в интервале от до +d рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 111. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f( ) удовлетворяет условию нормировки : d = 1.

Вид функции распределения f ) (рис. 82):

Рис. 111.

На рис. 111: -–наиболее вероятная скорость молекул, соответствует максимуму кривой; < - средняя скорость молекул газа; < > - cредняя квадратичная скорость молекул газа.

С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону бо′льших температур (рис. 112).

Рис. 112.