Архимед из СиракузArchimedes of Siracuse, ок. 287–212 г. До н. Э.

Древнегреческий математик, изобретатель и натурфилософ. О его жизни известно мало. Доказал ряд основополагающих математических теорем, прославился благодаря изобретению различных механизмов, до сих пор находящих широкое применение как в быту, так и в оборонной промышленности. Легенда гласит, что Архимед умер насильственной смертью, пав от руки римского воина во время осады Сиракуз, не пожелав укрыться в доме, поскольку был всецело поглощен геометрической задачей, начертанной им на прибрежном песке.

Закон Архимеда, закон статики жидкостей и газов, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) выталкивающая сила (сила Архимеда _a), равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объёма:

F_a =  gV,

где  — плотность жидкости (газа), g — ускорение свободного падения, а V — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Закон Архимеда в интегральной форме: F_a = где S — площадь поверхности, P — давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела

Давление, действующее на погруженное в жидкость тело, увеличивается с глубиной погружения, поэтому сила давления жидкости на нижние элементы поверхности тела больше, чем на верхние. В результате сложения всех сил, действующих на каждый элемент поверхности, получается равнодействующая F, направленная вверх (рис. 93). Это и есть выталкивающая сила.

Архимедова сила направлена всегда противоположно силе тяжести. Она равна нулю, если погруженное в жидкость тело плотно, всем основанием прижато ко дну. Следует помнить, что в состоянии невесомости закон Архимеда не работает.

Рис. 93.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает.

Закон Архимеда — основа теории плавания тел в жидкостях и газах.

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести F_т = mg и силы Архимеда F_a, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

• F_т > F_a  — тело тонет;

• F_т = F_a  — тело плавает в жидкости или газе;

• F_т < F_a  — тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Другая формулировка (где  — плотность тела,  — плотность среды, в которую оно погружено):

• >  — тело тонет;

• =  — тело плавает в жидкости или газе;

• <  — тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Природа силы Архимеда

Ч тобы понять природу силы, действующей на погруженное тело со стороны жидкости, достаточно рассмотреть простой пример (рис. 94).

Рис.94.

Кубик с ребром a погружен в воду, причем и вода, и кубик неподвижны. Известно, что давление в тяжелой жидкости увеличивается пропорционально глубине – очевидно, что более высокий столбик жидкости более сильно давит на основание. Гораздо менее очевидно (или совсем не очевидно), что это давление действует не только вниз, но и в стороны, и вверх с той же интенсивностью – это закон Паскаля.

Если рассмотреть силы, действующие на кубик (рис. 94), то в силу очевидной симметрии силы, действующие на противоположные боковые грани, равны и противоположно направлены – они стараются сжать кубик, но не могут влиять на его равновесие или движение. Остаются силы, действующие на верхнюю и на нижнюю грани. Пусть h – глубина погружения верхней грани, r – плотность жидкости, g – ускорение силы тяжести; тогда давление на верхнюю грань равно

r · g · h = p₁

а на нижнюю

r · g(h+a) = p₂

Сила давления равна давлению, умноженному на площадь, т.е.

F₁ = p₁ · a², F₂ = p₂ · a² ,

где a – ребро кубика, причем сила F₁ направлена вниз, а сила F₂ – вверх. Таким образом, действие жидкости на кубик сводится к двум силам – F₁ и F₂ и определяется их разностью, которая и является выталкивающей силой:

F₂ – F₁ =r · g · (h+a) a – rgha ·a² = pga².

Сила – выталкивающая, так как нижняя грань, естественно, расположена ниже верхней и сила, действующая вверх, больше, чем сила, действующая вниз. Величина F₂ – F₁ = pga³ равна объему тела (кубика) a³, умноженному на вес одного кубического сантиметра жидкости (если принять за единицу длины 1 см). Другими словами, выталкивающая сила, которую часто называют архимедовой силой, равна весу жидкости в объеме тела и направлена вверх.

Пример. Если тело неоднородно и его центр тяжести не совпадает с центром тяжести вытесненного им объёма жидкости, то возникает ещё и вращение тела.

Выведем плавающее тело (модель корабля) из положения равновесия, слегка наклонив его (рис. 95).

Рис. 95.

При этом объём погружённой части корабля изменится, изменится и выталкивающая сила, причём точка её приложения сместится в сторону более погружённой части тела. Образовавшаяся пара сил (сила тяжести и выталкивающая сила) будет возвращать тело в первоначальное положение, если направление выталкивающей силы пересечётся с линией 0′0′, содержащей цент тяжести тела С. Если же точка пересечения d окажется ниже центра тяжести, то тело перевернётся. Для устойчивости корабля точка d должна располагаться выше центра тяжести последнего. Количество воды, вытесненной плавающим судном, называется водоизмещением.

Предмет гидроаэродинамики

Гидроаэродинамикой называется раздел гидроаэромеханики, в котором изучаются движение жидкостей и газов и их взаимодействие с твёрдыми телами.

Будем рассматривать движущуюся жидкость. Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока.

Линия тока в гидромеханике – это линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению с вектором скорости частицы в данный момент времени (рис. 96).

Рис. 96.

Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им поверхности, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течёт медленнее.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 97).

Рис. 97.

Трубка тока. v ₁, v₂, v₃ — векторы скоростей в соответствующих точках.

В случае установившегося движения трубка тока подобна трубе со стенками, внутри которой с постоянным расходом течёт жидкость.

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели). Ограничимся простейшим случаем движения жидкости, когда выполняются следующие условия:

1). Жидкость несжимаемая ( = const).

Опыт показывает, что сжимаемостью жидкости и газа можно пренебречь, когда скорости их движения малы по сравнению со скоростью распространения звука ( << 330 340 ).

2). Жидкость идеальная, (т. е. без внутреннего трения между движущимися слоями). При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю энергию, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии.

Движению реальных жидкостей и газов всегда присуща вязкость.

3). Движение жидкости установившиеся (стационарное).

Течение жидкости называется стационарным, если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются (при стационарном течении отсутствуют вихри).

Вязкость

Идеальная жидкость является абстракцией. Всем реальным жидкостям присуща вязкость (внутреннее трение). Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызывающих, постепенно прекращается. Говоря о вязкости, имеют в виду тела жидкие, капельно-жидкие и упруго-жидкие.

Вязкость — важная физико-химическая характеристика веществ. Значение вязкости приходится учитывать при перекачивании жидкостей и газов по трубам (нефтепроводы, газопроводы).

 Вя́зкость (вну́треннее тре́ние) — 1).одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.; 2).свойство газов и жидкостей оказывать сопротивление необратимому перемещению одной их части относительно другой при сдвиге, растяжении и других видах деформации. В результате работа, затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.

Силы вязкости (силы внутреннего трения) возникают при относительном движении слоёв жидкости (газа). Они приложены к слоям жидкости и действуют по касательным к ним. Два слоя, движущихся друг относительно друга, взаимодействуют вдоль поверхности раздела с равными по модулю и противоположными по направлению силами внутреннего трения. Физические причины появления таких сил различны для жидкостей и газов.

В жидкостях эти силы обусловлены главным образом сцеплением между молекулами, принадлежащими разным слоям. В газах сцепление между молекулами мало, а их подвижность велика. Поэтому образование сил внутреннего трения в газах происходит в основном за счёт обмена молекулами между движущимися слоями. Однако в обоих случаях (и в жидкостях, и в газах) между движущимися слоями осуществляется перенос импульса.

Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Силы внутреннего трения и в жидкостях, и в газах подчиняется одному и тому же закону. Выделим в потоке два параллельных, равных по площади слоя, отстоящих друг от друга на расстоянии dy (рис. 98).

Рис. 98.

Изменение скорости от слоя к слою с увеличением координаты Z происходит по линейному закону (рис. 99).

Рис. 99.

Опыт показывает, что на каждый слой действует сила пропорциональная площади слоёв S и величине , характеризующей быстроту изменения скорости слоёв при переходе от слоя к слою, т.е. направлении, перпендикулярном слоям: S. Величину называют градиентом¹⁸ скорости.

При ламинарном сдвиговом течении жидкости между двумя плоскопараллельными пластинками, верхняя из которых движется с постоянной скоростью под действием силы , а нижняя пластинка неподвижная, слои жидкости перемещаются с разными скоростями - от максимальной у верхней пластинки до нуля у нижней (рис. 99). При этом касательное напряжение = , а скорость деформации , где S-площадь пластинок, h - расстояние между ними. Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации.

Основной закон вязкого течения был установлен И.Ньютоном (1687 г.):

= | |S,

где - тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоёв жидкости (газа) друг относительно друга; S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг; – коэффициент динамической вязкости (или просто вязкость).

Используя понятие касательного напряжения формулу закона Ньютона можно представить в виде: = . Касательное напряжение = в общем случае неодинаково в разных точках поверхности. Сила вязкости, действующая на элемент поверхности dS , равна: dF = dS. Поэтому полная сила вязкости равна: F =

Значение вязкости (Па•с) зависит от рода жидкости (газа) и от температуры.

Характер зависимости вязкости жидкостей и газов от температуры различна. У жидкостей с увеличением температуры уменьшается и растёт с увеличением давления; а у газов, наоборот, с ростом температуры вязкость увеличивается. Последнее указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Отечественный физик П.Л.Капица¹⁹ установил, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю. Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 10¹¹−10¹² Па·с.

Наряду с динамической вязкостью используют понятие кинематической вязкости:

= , ( ,

где – плотность вещества.

Величина = называется текучестью.

В технических науках часто пользуются понятием относительной вязкости, под которой понимают отношение коэффициента динамической вязкости раствора к коэффициенту динамической вязкости чистого растворителя: = , где — динамическая вязкость раствора;  — динамическая вязкость растворителя.

Слоистое течение с градиентом скорости обычно возникает так. В результате молекулярного сцепления тонкий слой жидкости «прилипает» к поверхности твёрдого тела. И если это тело движется относительно жидкости, то вместе с ним движется и прилипший слой, который благодаря силам вязкого трения увлекает соседний слой, а тот в свою очередь - следующий слой и т.д. По мере удаления от поверхности тела в перпендикулярном направлении скорость слоёв жидкости убывает, что и означает возникновение градиента скорости.