4.1.Средняя арифметическая

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х, число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Пример 1.

Таблица 4.1.- данные о производстве рабочими продукции за смену

№ раб.		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выпущено изделий за смену	x	16	17	18	17	16	17	18	20	21	18

В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы.

Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то есть варианты повторяются несколько раз, то средняя исчисляется иначе.

или

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Пример 2.

Имеются следующие сведения:

Таблица 4.2.- Данные заработной плате рабочих - сдельщиков

Заработная плата (варианта - х), руб.	Число рабочих в группе, f	xf
х1 = 1100	f1 = 2	2200
х2 = 1300	f2 = 6	7800
х3 = 1600	f3 = 16	25600
х4 = 1900	f4 = 12	22800
х5 = 2200	f5 = 14	30800
ИТОГО	50	89200

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х₁ встречается в совокупности 2 раза, а варианта х₃-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом f.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего - в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих. Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от состава (структуры) совокупности.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.

Пример 3.

Имеются следующие данные:

Таблица 4.3.- Распределение рабочих по количеству произведенной продукции

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих в группе, f	Середина интервала, х'	хf
3 - 5	10	4	40
5 -7	30	6	180
7 - 9	40	8	320
9 -11	15	10	150
11 - 13	5	12	60
Итого	100		750

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы - от 5 до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х^' будет равна:

(3 + 5) / 2 = 4

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами:

Пример 4.

Таблица 4.3.- Данные о производстве продукции за смену

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих в группе, f	Середина интервала, х	хf
до 5	10	4	40
5 - 7	30	6	180
7 - 9	40	8	320
9 -11	15	10	150
свыше 11	5	12	60
Итого	100		750

В таких рядах условно величина открытого интервала принимается равной величине ближайшего к нему, то есть для первого- интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в А раз величина средней арифметической не меняется, т.е. если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. На величину средней влияет увеличение или уменьшение всех вариант. Прибавление или вычитание из всех вариант числа А, увеличивает или уменьшает среднюю на это число А.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Сумма отклонений значений признака х от средней арифметической х равна нулю: