4. Винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии.

Обратимся к системе уравнений (2.10) и (2.11) в сферических координатах . Полагая ось вращения параллельной оси , для вектора запишем

Полагая наличие осевой симметрии ,решаем уравнение неразрывности (2.10):

Здесь – функция тока. Интегрируя - и - компоненты уравнения (2.11), выражаем -компоненту скорости через функцию тока:

Учитывая в – компоненте уравнения (2.11) выражения (4.2) и (4.3), получаем следующее уравнение для функции тока :

Положим во втором слагаемом левой части и в правой части уравнения (4.4) приближенно . Переходя, далее, от дифференцирования по к дифференцированию по , приходим к следующему уравнению:

Частное решение неоднородного уравнения (4.5) разыскиваем в виде

Учитывая выражение (4.6) в уравнении (4.5), запишем

Анализ показал, что вторым слагаемым в левой части уравнения можно пренебречь. В результате для величины получаем следующее выражение:

Соответствующие (4.8) величины компонент скорости таковы:

Получим общее решение однородного ( ) уравнения (4.5). Для этого удобно выразить функцию тока через азимутальную компоненту скорости из (4.3):

При этом было приближенно положено . Подставляя выражение (4.10) в уравнение (4.5), при будем иметь

Записываем элементарное решение уравнения (4.11) с помощью метода разделения переменных

Подставляя выражение (4.12) в уравнение (4.11), для величин соответственно получаем уравнения

Здесь – постоянная разделения. Ограниченные и обладающие непрерывными до второго порядка производными решения уравнения (4.14) существуют лишь при

Они представляют собой полиномы Лежандра n-й степени первого порядка:

Решения уравнения (4.13) при выполнении условий (4.15) выражаются через функции Бесселя:

Таким образом, ограниченное и обладающее непрерывными до второго порядка производными на сфере решение уравнения (4.11), получаемое методом разделения переменных, запишем в виде

С учетом соотношений (4.8), (4.10) и (4.18) для функции тока имеем

В заключение данного параграфа отметим, что ограниченное и обладающее непрерывными до второго порядка производными на сфере решение уравнения (3.41), получаемое методом разделения переменных, имеет следующий вид:

Здесь – сферические функции; величины определяются согласно соотношений (3.17).

5. Поверхности тока вихрей первой и второй степени.

В пренебрежении эффектом вращения ( ) рассмотрим первое ( ) слагаемое в соотношении (3.19). Согласно (3.17), имеем

. Таким образом, с большой точностью можно положить . В результате, переобозначая постоянные , запишем

Соответственно для компонент скорости имеем

Пусть имеют место условия

Здесь при принято условие “твердой крышки”, как это иногда делается в динамике атмосферы. Подставляя выражение (5.2) для в условия (5.3), имеем

Условие нетривиальной разрешимости системы уравнений (5.4) имеет вид

Его решение таково:

Решая первое уравнение (5.4) относительно , исключаем затем коэффициент из выражения (5.1). В результате получаем

При соотношение (5.7) определяет поверхности тока в вихре первой степени. Для и высоты “твердой крышки”

Э ти поверхности представлены на рисунке 1.

Рассматривая при второе ( ) слагаемое в соотношении (4.19), для функции тока вихря второй степени аналогично случаю вихря первой степени получаем

Соответствующие поверхности тока при и представлены на рисунке 2. Как видно из рисунка 1 и 2, вихрь первой степени содержит одну циркуляционную зону, вихрь второй степени – две. Можно показать, что вихрь третьей ( ) степени содержит три циркуляционные зоны и т. д.