3. Уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах.
3.1. Декартовы и круговые цилиндрические координаты.
Пусть
система координат декартова 
или круговая цилиндрическая 
причем ось 
направлена против вектора силы тяжести.
Тогда выражения (2.9) для плотности и
(2.11) для величины 
принимают вид
Здесь
– ускорение силы тяжести. Подставляя
выражение (2.1) для
в уравнение (2.29), соответственно в
декартовой и круговой цилиндрической
системах координат запишем:
Подставляя выражение (3.1) для в соотношение (2.28) для скорости , при , соответственно в декартовой и круговой цилиндрической системах координат получаем:
Приведем частные решения неоднородного уравнения (2.11) в случаях декартовой и круговой цилиндрической систем координат. Для единичного вектора примем выражение
где
– меридиональный угол начала системы
отсчета. В результате в декартовых
координатах 
это решение запишется в виде
В
частном решении неоднородного уравнения
(2.11) в круговых цилиндрических координатах
выражение для компоненты скорости 
имеет
вид (3.5). Выражения для компонент скорости
имеют следующий вид:
Здесь
компоненты скорости 
определяются выражениями (3.5).
Элементарное решение уравнения (3.3) в декартовых координатах, получаемое методом разделения переменных, имеет вид
Здесь
и далее 
–
постоянная разделения; 
постоянные;
– функция Бесселя. Элементарное решение
в круговых цилиндрических координатах
таково
Здесь
и далее 
– постоянные; 
– функции Бесселя и Неймана.
Аналогичным
образом в декартовых и круговых
цилиндрических координатах можно
получить элементарное решение уравнения
(2.32) для потенциала 
.
В частности, в круговых цилиндрических
координатах оно имеет вид
Здесь
и 
- постоянные.
3.2. Сферические координаты.
В
сферических координатах 
для плотности ρ справедливо выражение
Здесь
радиус
Земли, величина α0 определяется согласно
выражения (3.1). Принимая естественное
допущение, из (2.11) и (3.7) приближенно
получаем
Учитывая, что толщина атмосферного слоя во много раз меньше радиуса Земли, будем считать выполненным неравенство
Используя
малость параметра
,
можем пренебречь соответствующими
слагаемыми в уравнении (2.30). Переходя
затем в получившемся уравнении от
независимых переменных
к независимым переменным 
и
используя также малость параметра 
,
приходим к следующему уравнению:
Подставляя
выражение (3.8) для величины β в соотношение
(2.28), при 
с учетом малости параметров 
и
получаем
Найдем
частное решение неоднородного уравнения
(2.11) в сферических координатах. В
предположении азимутальной симметрии
с учетом малости параметров
и
из него следует
Исключая
из третьего уравнения (3.11) меридиальную
компоненту скорости 
с помощью второго уравнения, получаем
следующее уравнение для определения
азимутальной компоненты:
Учитывая в уравнении (3.12) выражение (3.8) для ,находим
Частное решение неоднородного уравнения (3.13) разыскиваем в виде
В
результате для функции 
из запишем уравнение
Частное решение неоднородного уравнения (3.15) имеет вид
В результате на основе соотношений (3.11), (3.14) и (3.16) получаем следующие выражения для компонент скорости в частном решении неоднородного уравнения (2.11)
