МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Курсовая работа

по дисциплине

«Геофизическая гидродинамика»

на тему:

«Анализ винтовых потоков в атмосфере Земли»

Выполнил:

Кравцова А.С.

студент 4 курса

группы «ФИЗ-б-о-111»

направления (специальности)

Физика

очной формы обучения

________________________

(подпись)

Руководитель работы:

Шевченко А. И.

доцент кафедры теоретической физики

Работа допущена к защите _______________________ ______________

(подпись руководителя) (дата)

Работа выполнена и

защищена с оценкой _________________________ Дата защиты______________

Члены комиссии: зав.каф. тер.физики __________ Волкова В.И.

доцент каф. тер.физики __________ Шевченко А.И.

доцент каф. тер.физики __________ Смерек Ю.Л.

доцент каф. тер.физики __________ Кульгина Л.М.

Ставрополь, 2014 г.

Содержание

Содержание………………………………………………………………………..2

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Винтовые потоки (течения Бельтрами)……………………………………….4

1. Двумерные течения………………………………………………………..6

2. Одномерные течения…………………………………………………...…7

2. Исходные уравнения………………………………………………………….10

3. Уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах……………………………………………………..15

3.1. Декартовы и круговые цилиндрические координаты…………………15

3.2. Сферические координаты……………………………………………….17

4. Винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии………………………………………………………………………..20

5. Поверхности тока вихрей первой и второй степени………………………..24

6. Винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения…………………..27

Заключение……………………………………………………………………….29

Список используемой литературы……………………………………………...30

Введение.

Основы теории винтовых потоков были заложены в 1881 г. И.С. Громекой в его малоизвестной диссертации "Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости" и независимо в 1889 г. в более известной работе итальянского математика Бельтрами (по этой причине винтовые потоки известны еще как течения Бельтрами).

Цель: Изучить винтовые потоки в атмосфере Земли.

Задачи:

• Рассмотреть винтовые потоки (течения Бельтрами);

• Изучить исходные уравнения;

• Рассмотреть уравнения для винтовых течений в декартовых, круговых цилиндрических и сферических координатах;

• Рассмотреть винтовые течения в сферических координатах при наличии осевой симметрии;

• Изучить поверхности тока вихрей первой и второй степени;

• Изучить винтовые потоки с винтовой симметрией поля течения.

1. Винтовые потоки (течения Бельтрами).

Винтовое движение является важным частным случаем завихренного установившегося движения идеальной жидкости, когда вихревые линии совпадают с линиями тока (кинематическое условие). Эквивалентное энергетическое условие заключается в том, что механическая энергия постоянна во всей массе движущейся жидкости, т.е. теорема Бернулли справедлива для всего потока в целом. В общем случае стационарного вихревого движения невязкой жидкости частицы, движущиеся по разным линиям тока, обладают неодинаковым количеством энергии, т.е. постоянная Бернулли имеет различные значения на разных линиях тока. Вместе с тем вдоль каждой линии тока количество энергии остается одинаковым, т.е. константа Бернулли сохраняется. Если все линии тока будут начинаться в области, где жидкость покоится или движется поступательно с одинаковыми скоростями, то и во всем остальном пространстве вследствие сохранения константы Бернулли вдоль линий тока количество энергии всех частиц будет одинаковым, т.е. поток будет либо потенциальным, либо винтовым. Важными примерами таких движений может стать образование закрученного течения при истечении струи из сосуда с покоящейся жидкостью или возникновение за изгибами русел и после поворотов в трубах циркуляционного движения в изначально равномерном потоке. Однако при применении модели винтовых течений даже в таких очевидных примерах следует помнить о том, что эти рассуждения справедливы только в рамках установившихся движений идеальной жидкости и остаются в силе только при таких режимах течений, где вязкость жидкости и нестационарность движения играют незначительную роль.

Кинематическое условие винтового движения может быть выражено

следующим образом:

причем в общем случае . может быть произвольной функцией координат

Если , то винтовой поток называют однородным, в противном случае - неоднородным. Умножив обе части уравнения (1.1) скалярно на и

воспользовавшись соотношениями

Найдем , где - единичный вектор, коллинеарный вектору

скорости.

Одно интересное свойство винтового потока сжимаемой невязкой жидкости следует из уравнения (1.1), если к его обеим частям применить операцию . Тогда получим

, так как .

Подставив сюда выражение для из уравнения неразрывности, найдем

Это означает, что вдоль линии тока отношение . Для несжимаемой жидкости отсюда как частный случай вытекает результат: линии тока располагаются на поверхностях .

Для однородного винтового потока с соленоидальным полем скорости

И.С. Громека получил, что вектор скорости и должен удовлетворять векторному уравнению

В самом деле, это соотношение следует из (1.1) после применения операции

ротора к правой и левой частям. Причем из того, что в этом случае

,

Не следует, что однородный винтовой поток возможен только для несжимаемой жидкости. Из уравнения неразрывности следует, что для сжимаемого газа установившийся однородный винтовой поток возможен, если , т. е. вектор скорости ортогонален градиенту плотности - линии тока располагаются на поверхностях равной плотности.

Уравнения неоднородного винтового потока (1.1) в криволинейных ортогональных координатах запишутся так:

Уравнения (1.2) совместно с уравнением неразрывности для случая установившегося винтового движения сжимаемой жидкости дают нам систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных .

Таким образом, поле скорости для винтовых движений по аналогии с

потенциальными течениями полностью определяется из кинематических уравнений, а законы динамики в виде интеграла Бернулли применяются для восстановления поля давления.