Глава 15. Несобственные и двойные интегралы
15.1. Несобственные интегралы первого рода
Пусть функция
определена на промежутке
и интегрируема на отрезке
при любом
.
Определение 15.1 Предел
называется несобственным интегралом
с бесконечным верхним пределом. Его
обозначают символом
.
Если этот предел существует и конечен,
то интеграл называется сходящимся,
и расходящимся, если этот
предел бесконечен или не существует.
Примеры
15.1. Доказать, что
несобственный интеграл
сходится при
и расходится при
.
Решение. Если
,
то интеграл расходится, так как
.
При
получим
.
Этот предел равен
,
если
,
и числу
в случае
.
●
Пусть функция
определена на промежутке
и интегрируема на отрезке
при любом
.
Определение 15.2. Предел
называется несобственным интегралом
с бесконечным нижним пределом. Его
обозначают символом
.
Если этот предел существует и конечен,
то интеграл называется сходящимся,
и расходящимся, если этот
предел бесконечен или не существует.
Примеры
15.2. Вычислить интеграл
.
Решение
.
●
Пусть функция
определена на промежутке
и интегрируема на любом конечном отрезке.
Определение 15.3. Сумма
пределов
называется несобственным интегралом
с бесконечным нижним и верхним пределом.
Его обозначают символом
и, следовательно,
.
Интеграл
сходится, если интегралы
и
сходятся. Если же, хотя бы один из этих
интегралов расходится, то расходится
и интеграл
.
Примеры
15.3. Вычислить интеграл .
Решение.
.
●
Определение 15.4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами называются несобственными интегралами первого рода.
Простейшие свойства несобственных интегралов 1-го рода
Свойства несобственных интегралов будут cформулированы и доказаны для несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом.
1. Если
— первообразная функции
на множестве
,
то справедлива формула
Доказательство. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, имеем
.
2. Интеграл
сходится
тогда и только тогда, когда для
любого числа
сходится интеграл
,
причем справедлива формула
.
Доказательство. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, имеем следующую цепочку равенств
.
Отсюда следует, что
существует тогда и только тогда, когда
для любого числа
существует предел
,
т.е. интеграл
сходится
тогда и только тогда, когда сходится
интеграл
.
Второе утверждение свойства вытекает
из импликации
.
3. Из сходимости интегралов
и
следует, что сходится интеграл
и справедлива формула
.
Доказательство.
.
4. Если функция
неотрицательна и интегрируема на
промежутке
,
то
и
.
Доказательство. Так как функция
при любом
,
то
.
Теперь из второго свойства несобственных
интегралов и неравенства
следует импликация
.
5. Если интеграл
сходится, то при любом выборе точки
справедлива формула
.
Доказательство. Из свойства 2,
сходимости интегралов
и
вытекает сходимость интегралов
и
.
Теперь имеем
.
■
Аналогичные свойства справедливы и для других несобственных интегралов 1-го рода.
Геометрический смысл несобственного
интеграла 1-го рода от неотрицательной
функции — это площадь бесконечной
фигуры, ограниченной сверху графиком
функции
,
снизу — осью
,
слева прямой
(рис. 15.1) или справа прямой
;
в случае интеграла, у которого оба
предела бесконечны — это площадь
бесконечной фигуры, ограниченной сверху
графиком функции
,
снизу — осью
.
$$15.1
Примеры