1.3.4 Предел функции при

Определение. Будем говорить, что число b является пределом функции y=f(x) при х, если по любому сколь угодно малому найдется число M=M()>0 такое ,что как только M.

Обозначение: .

Поскольку равенство х > М равносильно паре неравенств х < -М, х>M, то геометрически это определение означает, что точка с координатами (x,f(x)) обязана оказываться в заштрихованном множестве всякий раз, как только >M.

Аналогичным образом могут быть даны и интерпретированы понятия пределов при . Например, число b является пределом функции y=f(x) при , если по любому сколь угодно малому >0 найдется М=М() так, что , как только х>M. Геометрически это означает, что, как только х>M, точка (x,f(x)) находится в заштрихованном множестве.

Обозначения: .

Как и для предела функции при ха, очевидно следующее утверждение:

Теорема. Число b является пределом функции y=f(x) при тогда и только тогда, когда существуют оба предела при и оба они равны b.

1.3.5. Бесконечно большие функции. Ограниченные функции

Определение. Будем говорить, что функция y=f(x) является бесконечно большой величиной (стремится к бесконечности) при ха , если каково бы ни было сколь угодно большое M>0 найдется М) >0 такое, что , как только .

Обозначение:

Как и ранее, пользуясь геометрической интерпретацией неравенств >M и , приходим к следующему выводу: тогда и только тогда, когда точка (x,f(x)) оказывается в заштрихованной области, как только

В тех случаях, когда бесконечно большая при ха функция сохранит свой знак, мы будем писать

Замечание. Функция не обязана либо иметь конечный предел, либо быть бесконечно большой при ха . Существуют функции вовсе не имеющие никакого предела. Например, функция при х0 не имеет предела, т.к. в любой окрестности нуля принимает все значения из сегмента [-1,1].

Функции, стремящиеся к бесконечности при ха , называют еще неограниченными и при ха .

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной при ха , если найдутся >0 и С>0 такие, что f(x)C для всех

Нетрудно проверить, что сумма и произведение ограниченных при ха функций есть функция ограниченная. Более того, алгебраическая структура где М - множество ограниченных функций является группой, а алгебраическая структура - кольцом.

Из определения ограниченной функции очевидно следует утверждение:

Теорема. Если функция y=f(x) имеет конечный предел при ха , то она ограничена при ха . Более того, если этот предел отличен от нуля, то функция также ограничена при ха.

1.3.6. Предел последовательности

Определение. Число b будем называть пределом последовательности {y_n}, n=1,2,..., если по любому сколь угодно малому положительному >0 найдется номер N=N() так, что как только n>N.

Обозначение: .

Если условиться изображать геометрически последовательность {y_n},n=1,2,..., точками плоскости (n, y_n), n=1,2,..., то сформулированное выше определение означает, что точка (n,y_n) обязательно содержится в заштрихованной полуполосе, как только n>N().

Замечание. Вообще говоря, предыдущие определения пределов можно было бы дать, используя лишь понятие предела последовательности. Например, для предела функции при ха такой подход выглядит следующим образом. Число b называют пределом функции y=f(x) при ха , если для любой последовательности х_n, стремящейся к а, последовательность y_n=f(x_n) стремится к b.

Такое определение предела функции называют определением предела по Гейне. Можно показать, что определение предела по Гейне (секвенциального предела) эквивалентно определению предела, данному выше в качестве основного. Этот факт объясняется свойствами области определения, т.е. R. Вообще говоря, для функций с произвольной областью определения эти понятия предела различны.

Мы будем называть последовательность ограниченной сверху (снизу), если для некоторой константы с при любых n.

Последовательность y_n называют монотонно возрастающей (убывающей), если

Имеет место следующее достаточное условие существования предела последовательности.

Теорема. Всякая монотонно возрастающая (убывающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.