20

1.2. Функции

1.2.1. Основные понятия

Напомним общее понятие функции, рассмотренное нами ранее, при изучении теории множеств.

Под функцией мы понимаем правило или закон, по которому каждому хХ ставится в соответствие единственный yY. При этом говорят, что Х - область определения функции, а Y - множество ее значений.

Ниже мы в основном будем рассматривать лишь функции, встречающиеся в математическом анализе. Для таких функций множества определения Х представляют собой либо множество действительных чисел или некоторое его подмножество (функции одного переменного), либо декартово произведение таких множеств (функции нескольких переменных), либо множество комплексных чисел (функции комплексного переменного). Множество Y также может быть либо множеством действительных чисел, либо декартовым произведением таких множеств (вектор - функции), либо множеством комплексных чисел.

Изучение функции мы начнем с простейшего случая. Однако, многое из сказанного ниже о случае XR, YR справедливо и в указанных выше более сложных ситуациях.

Итак, функцией действительного переменного хR называют правило, или закон, по которому каждому хD(y)R ставится в соответствие единственный yЕ(y)R.

Множество D(y) называют областью определения функции, множество Е(y) - множеством ее значений.

По способу задания правила или закона, упомянутого в определении функции, различают следующие способы задания функции.

1. Аналитический способ.

В этом случае зависимость между аргументом х и функцией y описывается при помощи формул. При этом возможны следующие подспособы:

а) Явный аналитический. Зависимость между х и y задается явной формулой y=f(x), позволяющей по заданному х находить y.

Примеры: .

б) Неявный аналитический. Зависимость задается формулой, связывающей аргумент и функцию: f(x, y)=0, как правило, неразрешимой относительно y.

Пример. .

Чтобы найти по х отвечающее ему значение y, следует подставить х в уравнение связи и найти y из полученного уравнения.

В приведенном примере значению х=0 соответствует y=2, т.к.

.

в) Параметрический. В этом случае и функция, и аргумент задаются как явные функции некоторого параметра: ,

где Т - множество значений параметра. Зависимость между аргументом и функцией устанавливается по следующей схеме:

Пример:

Ясно, что D(y)= [0, 2]. Найдем, например, значение y(1).

Из первого уравнения имеем

Тогда из второго уравнения

2. Табличный способ задания.

Табличный способ задания функции применим, если область определения Х представляет собой дискретное множество. В этом случае функцию задают при помощи следующей таблицы

x	x1	x2	...	xn	...
y	y1	y2	...	yn	...

а y₁, y₂,...,y_n... - значения функции, соответствующие х₁ , х₂ , ..., х_n , ...

3. Графический способ.

В этом случае зависимость задается указанием графика функции и определяется следующим образом:

4. Словесный способ. Зависимость между аргументом и функцией описывается языковыми средствами.

Замечания.

1. Наиболее употребительным является аналитический способ задания функции.

2. Явный аналитический способ можно рассматривать как частный случай

а) неявного

б) параметрического

3. Последовательность (функцию натурального элемента) можно рассматривать как таблицу, в которой излишня верхняя строка.

X	1	2	3	...	N	...
Y	y1	y2	y3	...	yn	...