Дополнительные задачи

1. 40 лиц, среди которых 8 детей, располагаются случайным образом в шеренгу. Найдите вероятность того, что: а) дети окажутся рядом; б) какие-то 4 детей окажутся рядом; в) места расположения детей образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.

2. N различных книг размещаются наудачу на n полках. Какова вероятность того, что: а) на N определенных полках будет стоять по одной книге; б) на N каких–нибудь полках будет стоять по одной книге; в) на данной полке будет стоять m книг.

3. В квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) наудачу брошена точка. Пусть (х; у) ее координаты. Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от положения этой области и пропорциональна ей. Найдите:

а)

б)

4. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, наудачу с возвращением 2 игрока поочередно извлекают по одному шару. Выигрывает тот, кто первым извлечет белый шар. Найдите вероятность того, что игра закончится выигрышем а) для первого игрока при 5-ом извлечении; б) для второго игрока не позднее 6-го извлечения; в) для второго игрока.

5. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А означает, что на первой кости выпало число очков, кратное двум, а на второй – кратное трем; событие В – сумма выпавших очков кратна двум, событие С – сумма выпавших очков кратна 3. Будут ли события А, В, С: а) попарно независимы; б) независимы в совокупности? Я вляются независимыми события и С?

6. События А и В – независимы. Будут ли независимы А и , и ?

7. Во время испытания было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Перегрев и вибрация независимые события. Найдите вероятности: а) отказа этого реле при работе в жарких странах (вероятность перегрева 0,2, вероятность вибрации 0,1); б) того, что работа проходила при наличии и перегрева и вибрации, если известно, что реле сработало безотказно.

8. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,3. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность того, что это пробоина принадлежит первому стрелку?

9. Из полной колоды в 52 карты наудачу вынимают одну. Рассматриваются события:

А = {вынутая карта - туз};

В = {вынутая карта черной масти};

С = {вынутая карта – фигура, т.е. валет, дама, король, туз}.

Установите будут ли зависимы события А и В, А и С, В и С.

10. Докажите, что из независимости А и В (Р(А) > 0, Р(В) > 0) следует, что они совместимы.

11. Игрок А играет поочередно с игроками В и С по две партии. Вероятность выигрыша первой партии для В – 0,1, для С – 0,2. Вероятность выигрыша во второй партии для В – 0,3, для С – 0,4. какова вероятность того, что

1) В выиграет раньше С;

2) С выиграет раньше В?

12. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок В - с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Какова вероятность того, что стрелок С попал в мишень?

13. Из коробки, которая содержит один белый, два красных и три черных шара, наудачу извлекают три один за другим без возвращения шара. Выяснить, что более вероятно: белый шар появится раньше красного или красный раньше черного?

14. Тетраэдр, одна грань которого черная, другая белая, третья красная, а четвертая окрашена во все три цвета, кидают один раз и фиксируют окраску нижней грани. Определить вероятность события: на нижней грани есть черный цвет. Как изменится вероятность этого события, если известно, что на нижней грани есть белый цвет?

15. Наездник стремится преодолеть препятствие, совершая серию попыток. При каждой попытке вероятность преодолеть препятствия равна 0,75.

а)Найдите вероятность того, что препятствие будет преодолено не более, чем за три попытки;

б)Сколько потребуется попыток, чтобы вероятность преодолеть препятствие была равна не меньше 0,95;

в)Можно ли, повторяя попытки, довести вероятность преодоления препятствия до 0,99?