7. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от по­явления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РА(В)=Р(В)

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А)РА(В) имеет вид Р(АВ) = Р(А)Р(В),(1) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (1) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависи­мыми.

Пример 1.Реш-е А – выпал «Г», В – выпало чётное число очков

Пространство элементарных исходов имеет вид: Ω={Г1,Г2,Г3, Г4,Г5,Г6,Р1,Р2,Р3,Р4,Р5,Р6}

Каждый исход равновозможен: Р(Г1)=Р(Г2)=…=Р(Р6)=1/12

Событие АВ состоит из 3х элемент.исходов: АВ={Г2,Г4,Г6}=>Р(АВ)=3/12=1/4=1/2·3/6

Т.к. событие А{Г}, В={1,4,6}, то Р(А)=1/2 и Р(В)=3/6=>Р(АВ)=1/4

События А и В независимы

Пример 2. Решение: А – на 1й кости 6; В – на 2й кости 6; Р(А)=Р(В)=1/6

По усл.задачи А и В – независимы=>Р(АВ)=Р(А)·Р(В)=1/6·1/6=1/36

Если А и В независимы, то независимы также события А и В’, Ā и В, Ā и B’

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из независимы. Например, события А, В, с попарно независимы, если независимы события А иВ, А и С, В и С.

Нес-ко событий называют независимыми в совокупности (или независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А₁, А₂, А₃ независимы в совокупности, то независимы события А₁иА₂, А₁иА₃, А₂иА₃,; А₁иА₂А₃, А₂иА₁А₃, А₃иА₁А₂. Если нес-ко событий независимы попарно, то отсюда ещё не следует их независимость в совокупности.В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования из попарной независимости.

Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А1А2... An)= Р (А1) Р (А2). .. Р (Аn).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно сов­мещению событий АВ и С, поэтому

Р(АВС) = Р(АВ·С).

Так как события А, В и С независимы в совокуп­ности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух неза­висимых событий имеем: Р (АВ ·С) = Р (АВ) Р (С) и

Р (АВ) =Р(А)Р (В). Итак, окончательно получим Р (ABC) = Р(А)Р (В) Р (С).

Для произвольного n доказательство проводится ме­тодом математической индукции.ЧТД

Замечание. Если события А1, А2, …, Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события Ā1, Ā2, …, Ān также независимы в совокупности.

Пример 3. Решение: А – из 1го ящика вынута станд. деталь, В – из 2го ящика станд. деталь, С – из 3го ящика вынута станд. деталь.

Р(А)=8/10; Р(В)=7/10; Р(С)=9/10, т.к. события А,В с С независимы в сов-ти, то искомая вер-ть по теореме умножения равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)=0,8·0,7·0,9=0,504