5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А+В двух событий называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены 2 выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – при втором, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих.

В частности, если 2 события А и В – несовместные, ТО А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, к-рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пусть события А и В — несовместные, причем вероят­ности этих событий известны.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несов­местных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

доказательство. Введем обозначения: n—общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию А; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,

Р (А + В) = (m1 + m2)/n = m1/n + m2/n.

Приняв во внимание, что m1/n = Р (А) и m2/n — Р (В), окончательно получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(A₁+ A₂ + ... + А_n) = Р(A₁) + Р (A₂)+ ... + Р(A_n).

Следствие. Сумма вероятности нескольких попарно несовместных событий, образующих полную группу событий =1.

Док-во: т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вер-ть достоверного события =1, то:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1,

Применяя теорему сложения:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1

Поэтому принято обозначать: Р(А)=р,Р(Ā)=q p+q=1

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А).Р(А)= 10/30= 1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)..Р (В) = 5/30 =1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исклю­чает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения при­менима.

Искомая вероятность: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 1/3+ 1/6= 1/2.

Пример2. Реш-е:

А - выпало 16 очков, В – выпало ≤16очков

(m=4, n=6³ ) Р(А)=6/6³=1/36; (m=4, n=6³ ) Р(В)=1-Р(В’)

В’-выпало >16; Р(В’)=4/6³ =1/54; Р(В)=1-1/54=53/54

Пример3. Реш-е: А-ладьи не бьют друг друга, Ā-бьют

n=64·63; m=64·14; Р(Ā)= 64·14/64·63=2/9; Р(А)=1-2/9=7/9

6. Теорема умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном проявлении этих событий. Например, если А – деталь годная, В- деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Предположим, что событие В может произойти при условии появления события А, тогда вер-ть появления события В, вычисляется в предположении, что А уже произошло называется условной вер-тью события В: Р_А(В)

Теорема: вер-ть совместного появления двух событий = произведению вер-ти одного из них на условную вер-ть другого, вычисленного в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)·Р_А(В)

Док-во: Обозначим n – число всех элементарных исходов, m_A – число элементарных исходов благоприятных событию А, m_AB – число элементарных исходов, благоприятных совместному появлению А и В, т.е. АВ. Тогда: ; 1-я дробь = вер-ти события А, 2-я – условноу вер-ть события В (событие может наступить в каждом из элементарных исходов, благоприятных событию А): Р(АВ)=Р(А)·Р_А(В) ЧТД

Теорема умножения обобщается на случай совмещения нескольких событий.

Следствие: вер-ть совместного появления нескольких событий =произведению вероятности одногоиз них на условные вер-ти всех остальных, причём вер-ть каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р(А₁А₂А₃…А_n=Р(А₁)Р_А1(А₂)Р_А1А2(А₃)…Р_{А1А2…Аn-1}(А_n),

Пример. Реш-е: А – 1й шар кр; В – 2й шар синий

Р(А)=6/9=2/3; Р_А(В)=3/8; Р(АВ)=Р(А)· Р_А(В)==2/3·3/8=1/4