33. Зависимость между случайными величинами. Корреляционная зависимость и уравнение регрессии.

При экспериментальном изучении зависимости между величинами мы считаем, что значение аргумента известны точно, но из-за случайных ошибок измерения значение аргументы тоже являются случайными величинами поэтому набл.значения представляющие собой систему из двух СВ.

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, т.к обе величины подвержены действию случайных фактов, среди которых м.б и общие действующие на обе величины, в этом случае зависимость явл статической.

Статистической называют зависимость при которой изменение одной из величин влечет изменение закона распределения другой, в частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то зависимость называется корреляционной, а сами величины корреляционными.

Известно, что для повышения надежности результатов и изменения дисперсии оценок нужны повторные измерения, т.е для одного и того же значения аргумента значения другой величины может наблюдаться несколько раз, тогда результаты измерений оформляются двухвходовой таблицей, в которой в верхней строке записываются значения одной величины (например, аргумента Х), а в левом столбце – значения другой величины (ф-ции У).

На пересечении строк и столбцов записываем частоты n_ij наблюдающихся пар (x_i, y_j)- это таблица называется корреляционной.

При повторных изменениях среднее значение одной величины при фиксированном значении другой называется условным средним.

Например, ý_х –среднее значение величины У, при Х=х, если условные средние ý_х зависят от значений х, т.е если Х и У связаны корреляционной зависимостью, то уравнение ý_х=f^*(х) назыв выборным уравнением регрессии У на Х, а её график – выборочной линией регрессии У на Х.

Регрессия – это зависимость МО СВ от значений других СВ.

Линейная регрессия – корреляционная регрессия между СВ Х и У, при которой выборочная уравнения прямой линии регрессии У на Х имеет вид ý_х- ý=r_В(σ_у/σ_х)(х-х’),

Где ý_х- условная средняя;

х’ и ý – выборочные средние признаков Х и У;

σ_у и σ_х – выборочная СКО;

r_В – выборочный коэффициент корреляции, причём r_В= (х’ý- х’*ý)/( σ_у*σ_х)

Пример. Реш-е: усовные ср.вычисляем по формуле: Так для х=0,5: у_0,5‾=3,66

Условные ср.для соответствующих значений Х наносим на график.

По расположению точек делаем вывод о лин.коррелиции м/у признаками.

х‾=1/100*(3*0,3+29*0,4+47*0,5+..+2*08)=0,497; х‾²=0,2569; у‾=3,65; у‾²=14,65; σ_х=√(0,2569-(0,497)²)=9,945*10^-2 ;σ_у=√(14,35-(3,65)²)=1,014; (ху)‾=1,893.

r_В=((ху)‾- х‾*у‾)/σ_хσ_у= 0,7829

Значение r_В дост.близко к 1, поэтому лин.св.м/у признаками должна быть признана дост.сильной. Ур-е прямой регрессии:

у_х‾-у‾= r_В* σ_у/σ_х *(х-х‾)

у_х‾=7,983х-0,3173

Найдем крайние точки для построения прямой регрессии У на Х: у _0,3=2,08; у_0,8=6,07

34. Статистическая гипотеза. Виды гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия.

§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о в и де предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, xто неизвестный параметр Θ равен определенному значению Θ₀, выдвигают гипотезу: Θ=Θ₀. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй - о параметрах двух известных распределений.

Гипотеза «на Марсе есть жизнь» не является статистической, поскольку в ней не идет речь ни о виде, ни о параметрах распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H₁ которая противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что α≠10. Коротко это записывают так: H₀:а=10; Н₁:α ≠10.

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если λ -параметр показательного распределения, то гипотеза _H0: λ=5—простая. Гипотеза H₀: математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ известно)—простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза Н: λ>5 состоит из бесчисленного множества простых вида H_i: λ=b_i, где b_i—любое число, большее 5. Гипотеза H₀: математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ неизвестно)—сложная.