30. Точность оценки, доверительная вероятность и доверительный интервал. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном ско.

Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Допустим получена оценка θ* неизвестного параметра θ, возникает вопрос с какой абсолютной ошибкой получена эта оценка.

Очевидно, что оценка θ* тем точнее определяет неизвестный параметр θ, чем меньше ε>0 в неравенстве |θ- θ*|<ε (1)

Т.О. точностью оценки называют число ε>0 оценивающие сверху абсолютную величину разности не известного параметра и его оценки.

Т.К. θ* является СВ и статистические методы не позволяют утверждать, что неравенство (1) осуществляется всегда, то можно говорить только о вероятности его выполнения.

Опр.: надёжность (доверительную вероятность) оценки θ и θ* назыв.вер-ть γ с которой выполнятеся неравенство (1)

Обычно надёжность оценки задаётся заранее, величиной близкой к единице, например 0,9; 0.95; 0,99; 0,999 и т.д.

Пусть вероятность того, что выполнится неравенство (1) равно γ: Р(|θ- θ*|< ε)= γ

Тогда из того, что |θ-θ*|<ε  -ε<|θ- θ*|< ε  θ*-ε<|θ|<θ*+ε, получим равенство:

Р(θ*-ε<|θ|<θ*+ε)= γ, кот.следует понимать так: вер-ть того, что неизвестный параметр заключается в интервале: (θ*-ε;θ*+ε), т.е θ=θ*±ε= γ этот интервал назв.доверительным интервалом.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном СКО.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально с известным СКО.

Нужно найти доверительный интервал, покрывающие с надёжностью γ МО а этого распределения при известной выборочной средней х’.

Выборочную среднюю х’ рассматриваем как СВ (х’ меняется от выборки к выборке), а выборочные значения х₁, х₂, …, х_n явл.одинаково распространенными (по нормальному закону) СВ с параметрами а и σ, выборочная средняя х’ так же распределена нормально с параметрами а и σ/(n)^1/2, тогда имеем, что вероятность того, что Р(|х’-a|<ε)=2Ф(ε/(σ/(n)^1/2)), вероятность равна заданной надёжностью, т.е Р(|х’-a|< ε)= γ

Обозначим ε/(σ/(n)^1/2)=t_γ, тогда 2Ф(t_γ)=γ |=> Ф(t_γ)=γ/2.

Значение t_γ находят по известному значению γ/2 по таблице ф-ции Лапласа.

По найденному значению t_γ из (1) определяют точность оценки: ε= (t_γσ)/(n)^1/2 и доверительный интервал для МО х’-ε<a< х’+ε с надёхностью γ.

Пример 1. Реш-е: Оценкой генер.СКО σ служит исправленная СКО σ=S=√[n/(n-1)] σ_В= 3,21

Ф(t_γ)= γ/2= 0,495. По таблице находим, что t_γ=2,573

ε= (t_γσ)/√(n)=0,653 |=> доверит.интервал: 11,62-0,65<a<11,62+0,65; 10,97<а<12,27

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном СКО.

При неизвестном СКО генеральной совокупности нельзя воспользоваться ф-цией Лапласа, в этом случае для нахождения доверительного интервала по данным выборки строится СВ(с возможными значениями t): T= (х’-a)/(σ/(n)^1/2), которое имеет распределение, называемое распределением Стьюдента.

Доказано, что плотность вероятности распределения Стьюдента S(t;n) не зависит от неизвестных параметров a и S, а определяется только объёмом выборки n.

Плотность распределения Стьюдента – чётная относительно t, поэтому имеем, что : Р(|((х’-a)(n)^1/2)/s)|<t_γ= 2∫S(t;n)dt=γ

Для определения t_γ по заданной надёжности γ и объёму выборки n составлена таблица t(γ;n).

При увеличении объёма выборки распределения Стьюдента быстро приближается к нормальному (с нормальными параметрами а=0 и σ=1), поэтому при n≥30 можно пользоваться ф-цией Лапласа |=> Решение поставленной задачи выполняется след.образом: по заданной надёжности γ и объёму выборки n по таблице ф-ции t(γ;n) наход.значения t_γ. Далее находится точность оценки по формуле аналогичной формуле ε= (t_γσ)/(n)^1/2 , где S=[n/(n-1)]^1/2 σ_B

Доверительный интервал для оценки МО с заданной надёжностью определяется неравенством х’-ε<a< х’+ε.

Пример 2. Реш-е: Результат измерения зависит от очень большого числа случайных причин, действующих независимо др.от друга. Поэтому считаем его распределение по закону близкого к нормальному. При γ=0,99 и n=9 по табл. t(γ;n)=3,36, вычислим S=√[n/(n-1)] σ_В=4,56; ε= (t_γσ)/√(n)=5,11

Доверит.интервал для истинного значения измеряемой величины имеет вид: 32,86-5,11<a<32,86+5,11; 27,75<a<37,97