28. Точечные оценки параметров распределения. Метод моментов.

Опр1: Начальным моментом k-го порядка СВ Х назыв МО СВ X^k: υ_k=M(X^k)

Например, υ₁=M(X), т.е нач.момент 1-го порядка=МО СВ Х.

Опр2: Центральным моментом k-го порядка СВ Х назыв МО СВ (Х-m_x)^k:μ_k=M(X-m_x)^k ,т.е центральным моментом k-го порядка назыв МО отклонения в k-ой степени.

Напимер, μ₂=M(X-m₂)² = D(X), т.е центральный момент второго порядка дисперсии СВ.

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теорет.моментов соответствующим эмпирическим моментом того же порядка.

Если распределение определ.одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теорет.момент одному эмпирическому моменту того же порядка, например можно прировнять начальный теорет.момент 1-го порядка начальному эмпирич.моменту 1-го порядка: υ₁= μ₁

Учитывая, что υ₁=M(X),а μ₁=X’_B получим, что M(X)=X’_B (1). МО явл.ф-цией от неизвестного параметра, заданного распределения, потому решив ур-ние(1) относит.неизвестного параметра тем самым получим его точечную оценку.

Если распределение определ. 2 параметрами, то приравнивают два теорет.момента соот-щим двум эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теорет.момент 1-го порядка нач.эмпирич.моменту 1-го порядка и центральный теорет.момент 2-го порядка центральному эмпирич.моменту 2-го порядка: υ₁=M₁, μ₂=m₂

Учитывая, что υ₁=M(X), μ₁=X’_B, μ₂ =D(X), m₂=D_B имеем, что система [M(X)=X’_B и D(X)=D_B]

Левые части этих равенств явл.ф-циями от неизвестных параметров, поэтому решив систему относит.неизвестных параметров тем самым получим их точечные оценки.

Естественно, что для вычисления выборочной средней X’_B и выбор.дисперсии D_B надо иметь выборку х₁, х₂, …, х_n.

Пример 1. Реш-е:надо оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно Ур-ние отности.этого параметра υ₁=M1 =>М(X)=x’_B, но известно, что МО М(Х)=λ; λ=x’_B Т.О точечной оценкой параметра λ распределение Пуассона служит выборочная средняя: λ*=x’_B

Пример 2. Реш-е: из прим.1 λ*=x’_B

Х‾_В=900/1000=0,9

29. Точечные оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия.

Метод наиб.правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимальной ф-ции одного или нескольких оценивающих параметров.

А. ДСВ

Пусть X—ДСВ , которая в результате n испытаний приняла значения х₁, х₂, . .., х_n. Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр Θ, которым определяется этот закон. Требуется найти его точечную оценку. Θ*= θ*( х₁, х₂, . .., х_n). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение x_i через

Р(x_i; Θ*).

Функцией правдоподобия ДСВ X называют функцию аргумента Θ: L(х₁, х₂, . .., х_n , Θ) = р(х₁; Θ)р(х₂; Θ) ... р(х_n; Θ),

Оценкой наиб.правдоподобия Θ назыв.такое его значение Θ* при котором ф-ция правдоподобия достигает максимума.

Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении Θ, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут максимум функции lnL.

Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию lnL. Tочку максимума функции lnL аргумента Θ можно искать, например, так:

1) найти производную dlnL/dΘ;

2) приравнять производную нулю и найти критическую точку Θ* -корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия);

3) найти вторую производную d²lnL,Рг ; если вторая производная при Θ = Θ * отрицательна, то Θ *—точка максимума.

Найденную точку максимума Θ * принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра Θ.

Б. НСВ.

Пусть X - НСВ, которая в результате n испытаний приняла значения х₁, х₂, . .., х_n. Допустим, что вид плотности распределения f(х) задан, но не известен параметр Θ, которым определяется эта функция.

Функцией правдоподобия НСВ X называют функцию аргумента Θ:

L (х₁, х₂, . .., х_n; Θ) = f(х₁; Θ) f(х₂; Θ) ... f(х„; Θ).

Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения НСВ ищут так же, как в случае ДСВ.

Если плотность распределения f(х) НСВ X определяется двумя неизвестными параметрами Θ₁ и Θ₂, то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов Θ₁ и Θ₂:

L = f(х₁, Θ₁, Θ₂ ) f(х₂, Θ₁, Θ₂,) ... f(х_n, Θ₁, Θ₂).

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему:

Система [ ∂lnL/∂ Θ₁=0 и ∂lnL/∂ Θ₂=0]

Пример. Реш-е: составим ф-ци правдоподобия: L=p(x₁,θ)*…*p(x_n,θ)

Учитывая, что θ=pu; получим, что

Напишем логарифмическую ф-цию правдоподобия:

Найдем первую производную по р =>

(1-р)Σхi=(nm-Σxi)p

Σхi=nmp; р= Σхi/nm

Найдем вторую произвожную по р => р= Σхi/nm – точка max=> ее надо принять в кач-ве оценки наиб.правдоподобия неизв.вер-ть р биномиального распределения.

р*= Σхi/nm. Очевидно, что если xi- появление события наблюдалось в ni опытах, то р*= Σхi*ni/nm