27. Статистические оценки параметров распределения. Выборочная средняя как оценка математического ожидания теоретического распределения. Генеральная и выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия.

Статистические оценки параметров распределения

Пусть по результатам измерений нужно найти число, близкое к неизвестному значению измеряемого параметра θ теорет.распредел., это число θ* будем называть оценкой неизвестного параметра θ.

Т.О θ=θ*. Пусть в распоряжении исследователя имеются результаты измерений количественного признака х₁, х₂, …, х_n т.е значение выборки объёма n. Если повторить измерение, то получатся другие n чисел, отличные от первых в силу влияния случ.причин. Результаты выборки поэтому можно рассчитывать как наблюдение над случайными величинами х₁, х₂, …, х_n

Найти оценку параметра распределения – значит найти величину от результатов наблюдения: θ*= θ*(х₁, х₂, …, х_n)

Опр1: стат.оценкой θ неизв.оценкой θ теор.распредел.назыв.ф-цию f(х₁, х₂, …, х_n) от набл.случ.величины х₁, х₂, …, х_n

Опр2: точечной назыв.стат.оценку, кот.определ.одним числом θ*=f(х₁, х₂, …, х_n), где х₁, х₂, …, х_n – результаты n наблюдений над количественным признаком X – выборка

Производя повторные выборки можно получить оценки принципиально отличающегося др.от друга θ₁*, θ₂*,…, θ_n*.

Т.О оценку θ* можно так же рассматривать как СВ, принимающую разл.значения. В связи с этим к оценке предъявл.требования несмещённости и состоятельности.

Опр3: несмещённой назыв.оценка θ* МО которой равно оцениваемому параметру, при любом объёме выборки: М(θ*)= θ.

Опр4: смещённой назыв.точечную оценку МО которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещённость означает, что для оценки не имеет системат.ошибки.

Опр5: состоятельной назыв.оценке, которой n→∞ по вероятности стремится к оцениваемому параметру, т.е при сколь угодно малом ε>0 lim(n→∞) P(|θ-θ*|< ε)=1

Св-ва состоятельности обеспечивает уменьшение дисперсии при увеличении числа измерений и сближение оценки с измеряемым параметром при выполнении требования несмещённости.

Выборочная средняя как оценка математического ожидания теоретического распределения

Опр1: выборочной средней назыв.среднее арифмет.значение количественного признака выборочной совокупности

Если все значения признака х₁, х₂, …, х_n то выборочная средняя наход.: х’= (х₁, х₂, …, х_n)/n Если значение признака х₁, х₂, …, х_n то выборочная средняя находится: х’= (n₁х₁, n₁х₂, …, n_kх_n)/n

Т.к х₁, х₂, …, х_n – есть набл.значения СВ Х₁, Х₂,..,Х_n c одинаковым МО Мx_i =а и дисперсией Dx_i=σ²,то МО и дисперсия среднего значения будут равны М(Х’)=a и D(X’)=σ²/n

Т.О среднее значение явл.несмещённой оценкой МО

Так же можно показать, что эта оценка состоятельна поэтому, если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной генеральной совокупности будут выбрана ср., то они будут мало отлич др.от друга в этом закл.св-во устойчивости выборочных средних.

Опр2: генеральной средней назыв.среднее арифмет.значение признака генеральной совокупности.

В следствии очень большого объёма генеральной совокупности генеральная средняя принимается равной МО теорет.распределения признака генеральной совокупности х’_г=0

Вывод: несмещённый оценкой генеральной средней (МО) служит выборочное среднее х’_B=1/n Σ n_ix_i.

Пример 1. Реш-е:

Замечание: Если первоначальные варианты x_i – большие числа, то для упрощения расчёта нужно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т.е перейти к усл.вариантам U_i=x_i-C

В качестве С нужно принять число, близкое к выборочной средней, а т.к выбор.средняя неизвестна, то число С выбирают «на глаз», тогда: х’_B=С+1/n Σ n_iU_i.

Пример 2. Реш-е:

Генеральная и выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия

Опр1: Генеральной дисперсией назыв.средн.арифмет.квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности.

Генеральная среднеквадрат.отклонение- это квадратный корень из генеральной дисперсии, т.к средн.значение при большом объёме явл.оценкой МО – СВ, то генеральная дисперсия явл.оценкой дисперсии теорет.распредел.

Опр2: выбор.дисперсией назыв среднее арифметическое квадратов отклонений значений признаков выборки от выборочной средней.

Т.О дисперсия равна среднему из квадрату значения признакаминус квадрат средней. D_B=x²’-(x’)²

Выбор.дисперсия явл.смещённой оценкой дисперсии теорет.распредел. (генеральной совокупности). Можно показать, что МО M(D_B)=(n-1)/n*D

Для оценки генеральной дисперсии вводят исправл.дисперсию S²=(n-1)/n*D_B

Испр.дисперсия явл.несмещённой оценкой генер.дисперсии: М(S²)=D

Замечание1: Если первоначальные варианты x_i – большие числа, то нужно вычесть из всех вариант одно и тоже число С равное выборочной средней или близкое к ней, т.е перейти к усл.варианта U_i=x_i-C.

Замечание2: Если первоначальные варианты явл.десятичными дробями с k десятичными знаками после запятой то, чтобы узбежать действий с дробями умножают первонал.варианты на пост.число, т.е переходят к усл.вариантам.

Пример 3. Реш-е:

xi	92	94	103	105	106
ni	1	1	1	1	1

А) Х‾_В=(92+94+103+105+106)/5=100

Б)