23. Равномерное распределение. Распределение . Распределение Стьюдента.
Равномерное распределение НСВ.
Опр: равномерным назыв.распределение НСВ, плотность распределения вероятностей которой постоянна в интервале, кот.принадлежат все возможные значения СВ.
Пусть
НСВ Х(a,b),
тогда по св-ву 3) плотности распределения
имеем, что:
|=> с(b-a)=1,
где a<b
|=> Плотность равномерного распредел.имеет
вид: f(x)
= система [0, если a≤x;
1/(b-a),
если a<x≤b;
0,если x>b]
Найдём числовые хар-ки равномерного распределения:
1)
МО:
2)дисперсия:
=(b3-a3)/3(b-a)
– (a2+2ab+b2)/4=
(a2+ab+b2)/3
- (a2+2ab+b2)/4=(a2-2ab+b2)/12=
(a-b)2/12
3)СКО: σх =√Dx=(b-a)/2√3=0,29
Равномерное распределение на практике встречается например, при округлении показателей измерит.прибора до ближайшего целого значения шкалы. Ошибка округления равна ±0,5 цены деления распределена по равномерному закону.
Распределение «хи квадрат»
Пусть Xi(i = 1, 2, ..., n) — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение-единице. Тогда сумма квадратов этих величинраспределена по закону («хи квадрат») с k = n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например
Σ Xi =nX’, то число степеней свободы k=n-1/
распределение «хи квадрат» определяется одним параметром—числом степеней свободы k.
С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Распределение Стьюдента
Пусть Z—нормальная случайная величина, причем M(Z) = Q, σ(Z) = l, а V — независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина T=Z/(√V/k|), имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента, с k степенями свободы.
Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.
С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
24.Числовые хар-ки ср.Значения нескольких взаимно независимых одинаково распределенных св.
Пусть имеем n взаимно незав. СВ: Х1, Х2,…, Хn с одинаковыми з-ми распределения, а значит, с равными МО, дисперсиями и СКО: mx1=mx2=…=mxn=a
D(X1)=D(X2)=…=D(Xn)=D; σ(Х1)=σ(Х2)=…=σ(Хn)=σ
Найдем
след.числовые хар-ки ср.значен.этих СВ:
1)МО
СВ Х‾:
МО ср.знач.нес-ких СВ=МО каждой из них
2)дисперсия:
Дисперсия ср.арифметического n взаимно незав. СВ в n раз меньше дисперсии кадой из них.
3)СКО:
.
СКО ср.знач. n
взаимно незав. СВ в √n
раз меньше СКО каждой из них
Полученные результаты имеют практич.значение. Отдельные измерения нек-рой величины смогут значит. отличаться друг от друга ( вследствие случ.ошибок), т.е. дисперсия (СКО) отдельных измерений м.б.дост. велика, а ср.знач. отдельных измерений дает результат тот более надежный для измеряемой величины, чем каждое из отдельных измерений, т.к. его дисперсия в n раз меньше