Стационарное течение жидкости по прямолинейной трубе. Формула Пуазейля.

П усть идеальная жидкость¹ течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости следует, что скорость течения υ будет одна и та же вдоль всей трубки тока – скорость жидкости не может меняться вдоль трубы. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния r от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости υ является функцией радиуса r . Выясним причины такого изменения.

r υ=0

l

R R

r 0

P₁ P₂ X

Примем ось трубы за ось Х, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длины dx и радиуса r. На её боковую поверхность в направлении движения действует касательная сила внутреннего трения . Кроме того, на основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений

. При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому

Скорость υ(r) , а с ней и производная не меняются с изменением х. Поэтому должна быть постоянной и производная . Причем равна она (Р₂-Р₁)/ l , где Р₁ – давление на входе трубы, Р₂ – на выходе, а l длина трубы. В результате приходим к уравнению . Интегрируя его, получим

.

Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т.е. при r = R скорость υ должна обращаться в нуль. Это дает .

Скорость максимальна на оси трубы, где она достигает значения

.

Окончательное преобразование можно представить в виде:

,

т.е. при удалении от оси трубы скорость υ меняется по параболическому закону.

Подсчитаем расход жидкости, т.е. количество её, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r + dr, равна dm_сек=2πrdrρυ. Подставляя сюда выражение для υ и интегрируя, находим искомый расход жидкости

или .

Учитывая связь объёма с массой секундный поток

.

Данная формула является выражением закона Пуазейля (Хагена), сформулированном в 1840 году: расход жидкости пропорционален разности давлений ΔР, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости.

Следует отметить, что природа сил трения в газах и жидкостях различна, но общие закономерности вязкого течения одинаковы. Если в жидкостях вязкость обусловлена силами молекулярного взаимодействия, то в газах вязкость объясняется тем, что на направленное движение потоков накладывается хаотическое движение молекул из слоя в слой. При таком перескоке происходит перенос импульса через трубку тока: частицы из более быстрого потока перенесут бóльший импульс в медленный поток, ускоряя его и наоборот,- из медленного потока при перескоке они будут замедлять поток, в который попали. В итоге газ ведет себя так, как будто на него действуют силы внутреннего трения.

Сила внутреннего трения выражается законом Ньютона

,

где - градиент скорости направленного движения газа, S - площадь соприкасающихся поверхностей движущихся слоев, η - коэффициент вязкости (внутреннего трения), который зависит от физической природы газа и его термодинамических характеристик (давление, температура). В молекулярно-кинетической теории [1-4] показывается, что коэффициент вязкости газов

,

где -средняя арифметическая скорость хаотического (теплового движения) молекул газа; -средняя длина свободного пробега молекул, ρ - плотность газа.

Из последнего уравнения можно получить, что вязкость газа возрастает с увеличением температуры и при не очень низких давлениях не зависит от давления.

Для жидкости наоборот, вязкость уменьшается с температурой, так как при этом увеличивается среднее расстояние между молекулами и, следовательно, уменьшаются силы взаимодействия между ними.