Анализ модели на чувствительность. Экономическая интерпретация задачи лп.

Задача. Фирма изготавливает два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Используется два расходных продукта А и С, суточные запасы которых ограничены (не более 6 т для продукта А и не более 8 т для С). Расходы продуктов А и С на 1 т красок приведены в таблице.

	В	Н
А	1	2
С	2	1

Суточный спрос на В не превышает спроса на Н более чем на 1 т. Спрос на краску В не превышает 2 т. Оптовые цены: 3 тыс. $ за 1 т краски Н и 2 тыс. $ за 1 т краски В.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от продажи был максимальным?

Окончательная симплекс-таблица для рассмотренной задачи такова:

Б							1
	0	1			0	0
	1	0			0	0
	0	0	1	1	1	0	3
	0	0			0	1
	0	0			0	0

Экономический смысл оптимальных значений переменных.

Первые два ресурса полностью израсходованы – это дефицитные ресурсы.

Ресурсы и остались не израсходованными (для разница в спросе на краски I и E не является максимально возможной) – это избыточные ресурсы.

Анализ на чувствительность:

1) Что изменится в программе, если закупить дополнительное количество дефицитного ресурса?

2) До каких пределов можно увеличивать запасы дефицитного ресурса без изменения его статуса?

Итак, пусть запас компонента А увеличен с 6 до .

Первое уравнение в итоге будет выглядеть так:

Как изменится окончательная симплекс-таблица?

Чтобы это понять, обозначим через , тогда мы возвращаемся к исходной задаче.

Б							1
	0	1			0	0
	1	0			0	0
	0	0	1	1	1	0	3
	0	0			0	1
	0	0			0	0

Но таблица – эта запись системы уравнений, следовательно,

Возвращаясь к , получим

Для симплекс-таблицы получим:

Б
	0	1			0	0	+ 
	1	0			0	0	
	0	0	1	1	1	0	3
	0	0			0	1	
	0	0			0	0	+ 

Итак, коэффициенты в целевой строке при свободных переменных имеют следующий смысл: если дефицитный ресурс увеличится на 1 единицу, то целевая функция возрастет на этот коэффициент. Этот коэффициент называется теневой ценой ресурса. У избыточного ресурса теневая цена равна нулю.

Увеличивать дефицитный ресурс можно только до такой величины, при которой элементы свободного столбца неотрицательны. Чтобы найти эту границу, следует решить систему неравенств:

Если увеличить первый ресурс больше, чем на 1, то четвертый ресурс превратится из избыточного в дефицитный, и увеличение первого ресурса уже не принесет увеличения прибыли.

Еще один вопрос связан с возможным изменением цен на производимый товар: в каких пределах может изменяться цена на товар, так чтобы не изменялся оптимальный план?

Именно, пусть в рассматриваемой задаче цены на краску Н и В равны 3+₁ тыс. долл. для краски Н и 2+₂ тыс. долл. на краску В вместо 3 и 2 тыс. долларов соответственно. Куда войдет параметр  в окончательную симплекс таблицу? Исходная запись симплекс таблицы будет такой:

Б
	1	2	1	0	0	0	6
	2	1	0	1	0	0	8
	1	1	0	0	1	0	1
	0	1	0	0	0	1	2
	(3+1)	(2+2)	0	0	0	0	0

Первое преобразование Жордана дает:

Б
	0		1		0	0	2
	1		0		0	0	4
	0		0		1	0	5
	0	1	0	0	0	1	2
	0		0		0	0	12+41

Второе преобразование Жордана дает:

Б
	0	1			0	0
	1	0			0	0
	0	0	1	1	1	0	3
	0	0			0	1
	0	0			0	0

Критерий оптимальности плана дает, что полученный план оптимален до тех пор, пока

Откуда или .

Двойственная задача ЛП.

Напишем задачу линейного программирования в стандартной форме:

Двойственной задачей к задаче ЛП в стандартной форме называется следующая задача:

Ограничений на знаки переменных нет.

Пример.

Прямая задача. 

Двойственная задача.

Основное неравенство двойственности.

Пусть произвольный допустимый план исходной задачи, а – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда

Доказательство.

Умножим каждое неравенство для на и сложим:

откуда, после перегруппировки, получаем

что эквивалентно исходному неравенству.

Первая теорема двойственности .

Если одна из двойственных задач имеет решение, то его имеет и другая, при этом

Нахождение решения двойственной задачи по симплекс-таблице для исходной задачи.

Б				
				
				
						
				
				

Если план оптимальный (есть базис и все элементы целевой строки неотрицательны), то решение двойственной задачи таково: а значения переменных равны коэффициентам при вспомогательных переменных в -строке.

Пример.

Б
	1	2	1	0	0	6
	2	1	0	1	0	8
	1	1	0	0	1	1
	3	2	0	0	0	0

После двух преобразований симплекс-метода получаем:

Б
	0	1	2/3	1/3	0	4/3
	1	0	1/3	2/3	0	10/3
	0	0	1	1	1	3
	0	0	1/3	4/3	0	38/3

Решение двойственной задачи :

Экономическая интерпретация двойственной задачи.

Переменные – теневые цены ресурса . Функция представляет собой совокупную ценность ресурсов задачи. Основное неравенство интерпретируется как

Прибыль < Общая ценность ресурсов