1.4 Метод потенциалов

Для каждого поставщика и потребителя находят потенциал или силу. Для этого, составляют систему уравнений U_i+V_j=C_ij для каждой заполненной решением клетки таблице. В системе будет (m+n-1) уравнение, с m+n неизвестными то есть неизвестных на один больше чем уравнений, такая система имеет бесконечное множество решений, по этому, для её решения, одной из переменных, дают конкретное значение (обычно U₁=0) и система будет иметь единственное решение.

Потенциалы записываются рядом с таблицей.

Для всех не заполненных решением клеток таблицы, вычисляют оценку _ij= U_i+V_j-C_ij.

Если все _ij 0, то решение оптимальное.

Если хотя бы один _ij 0, то решение не оптимально и его можно улучшить.

1.5 Переход от одного опорного решения к другому

Переход к новому опорному решению, осуществляется с помощью цикла.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы, в которой две и только две соседние клетки, расположенные в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки цикла, так же находится в одной строке или столбце.

Цикл строится для клетки, в которой наибольшая положительная оценка max_”+”{ }. В эту клетку таблицы ставится знак плюс и она добавляется к заполненным клеткам таблицы (то есть заполненных клеток становится m+n). Затем методом вычеркивания строится цикл.

Метод «вычеркивания»

В таблице можно вычеркнуть те строки и столбцы, в которых по одной заполненной клети таблицы, причем вычеркнутые строки и столбцы уже не учитываются. Оставшиеся клети таблицы после вычеркивания, образуют цикл. В найденном цикле расставляют знаки плюс и минус в нечетных клетках плюсы, а в четных минусы, начиная с уже поставленного знака плюс. По циклу перераспределяется груз величиной =min_”-“{x_ij}. При построении нового решения, все вычеркнутые клетки переписываются без изменения, в клетках со знаком «плюс», величина перевозки увеличивается на , со знаком «минус» уменьшив на при этом одна из помеченных клеток останутся пустой.

Глава 2. Решение транспортной задачи

Склады в городах	Магазины в городах
	Чебоксары	Вязники	Набережные Челны	Казань	Запасы
Москва	7	6	5	11	400
Нижний Новгород	3	4	2	2	200
Покров	9	10	3	15	100
Ижевск	1	5	1	3	100
Заявки	400	200	100	200

Условие: Автотранспортная компания «Астрада» обеспечивает доставку шин «Bridgestone с четырех оптовых складов, расположенных в Москве, Нижнем Новгороде, Покрове, Ижевске в четыре магазина в Чебоксарах, Вязниках, Набережных Челнах и Казани. Объемы запасов шин на складах, объемы заказов магазинов и тарифы на перевозку представлены в транспортной таблице.

Однако имеются дополнительные условия: объем перевозки шин со склада i Москве магазину в Вязниках должен быть не менее 100 (х₁₂ > 100), а со склада i в Нижнем Новгороде магазину в Чебоксарах - не более 100 (х₂₁ <100). Определите оптимальный план поставок шин в магазины, обеспечивающий минимальные затраты.

bj ai	400	200	100	200
400	7	6	5	11
200	3	4	2	2
100	9	10	3	15
100	1	5	1	3
100 Ф	0	0	0	0

Проверяем баланс задачи:

=400+200+100+100 = 800

=400+200+100+200 = 900

Т.к. < => вводим фиктивного поставщика a₅ = 900 - 800 = 100, с_5j = 0.

Требуется при решении транспортной задачи ограничить перевозки от поставщика с номером l и потребителю с номером k.

Т.к. x₁₂ ≥ 100, то необходимо прежде, чем решать задачу, сократить запасы 1-го поставщика и запросы 2-го потребителя на величину 100 (т.е. зарезервировать перевозку x₁₂ = 100). В полученном оптимальном решении следует увеличить объем перевозки x₁₂ на величину 100.

bj ai	400	100	100	200
300	7	6	5	11
200	3	4	2	2
100	9	10	3	15
100	1	5	1	3
100 Ф	0	0	0	0

Т.к. x₂₁ ≤ 100, то необходимо вместо 1-го потребителя с запросами b₁ ввести двух других потребителей. Один из них с номером 1 должен иметь запросы b₁^’ = 100, а другой с номером 5 с запросами b₅ = 400 – 100 = 300. Стоимости перевозок для этих потребителей остаются прежними, за исключением стоимости c₂₅, которая принимается равной сколь угодно большому числу M (M<< 1). После получения оптимального решения величины грузов, перевозимых к 5-му потребителю, прибавляются к величинам перевозок 1-го потребителя. Так как c₂₅=M – самая большая стоимость перевозки, то в оптимальном решении клетка с номером (2,5) останется пустой (x₂₅ = 0) и объем перевозки x₂₁ не превзойдет 100.

bj ai	100 *	100	100	200	300 *
300	7 -	6 100	5 -	11 -	7 200	U1 = 0
200	3 -	4 3	2 0	2 200	М -	U2 =1
100	9 -	10 -	3 100	15 -	9 0	U3 =2
100	1 100	5 1	1 0	3 -	1 + 6	U4 =0
100 Ф	0 -	0 -	0 -	0 -	0 100	U5 =-7
	V1 =1	V2 =6	V3 =1	V4 =1	V5 =7

m+n-1=5+5-1=9

С=

Задаем целевую функцию:

Z(x)=600+1400+0+400+300+0+100+0+100=2900

Проверяем решение на оптимальность, для этого:

1. Для каждой заполненной решение клетки таблицы составляем уравнение вида U_i+V_j=C_ij и решаем систему:

Пусть U₁=0, тогда

2. Для каждой незаполненной клетки таблицы находим оценки _ij= U_i+V_j-C_ij

₁₁=U₁+V₁-C₁₁=0+1-7=-6 0

₁₃=U₁+V₃-C₁₃=0+1-5=-4 0

₁₄=U₁+V₄-C₁₄=0+1-11=-10 0

₂₁=U₂+V₁-C₂₁=1+1-3=-1 0

₂₂=U₂+V₂-C₂₂=1+6-4=3 0

₂₅=U₂+V₅-C₂₅=1+7-М=M 0

₃₁=U₃+V₁-C₃₁=2+1-9=-6 0

₃₂=U₃+V₂-C₃₂=2+6-10=-2 0

₃₄=U₃+V₄-C₃₄=2+1-15-12 0

₄₂=U₄+V₂-C₄₂=0+6-5=1 0

₄₄=U₄+V₄-C₄₄=0+1-3=-2 0

₄₅=U₄+V₅-C₄₅=0+7-1=6 0

₅₁=U₅+V₁-C₅₁=-7+1-0=-6 0

₅₂=U₅+V₂-C₅₂=-7+6-0=-1 0

₅₃=U₅+V₃-C₅₃=-7+1-0=-6 0

₅₄=U₅+V₄-C₅₄=-7+1-0=-6 0

так как ₂₂, ₄₂, ₄₅>0, то решение неоптимальное, его можно улучшить. Для этого строим цикл для клетки max_”+”{ }= ₄₅=>(4;5) в которую ставим знак «+» добавляем его к заполненным клеткам.

=min_”-“{0;0}=0

bj ai	100 *	100	100	200	300 *
300	7 0	6 100	5 -	11 -	7 200	U1 = 0
200	3 + 5	4 3	2 0	2 200	М -	U2 =1
100	9 0	10 -	3 100	15 -	9 0	U3 =2
100	1 100	5 -	1 -	3 -	1 0	U4 =-6
100 Ф	0 0	0 -	0 -	0 -	0 100	U5 =-7
	V1 =7	V2 =6	V3 =1	V4 =1	V5 =7

Задаем целевую функцию:

Z(x)=600+1400+0+400+300+0+100+0+0=2800

Проверяем решение на оптимальность

Пусть U₁=0, тогда

₁₁=U₁+V₁-C₁₁=0 0

₁₃=U₁+V₃-C₁₃=-4 0

₁₄=U₁+V₄-C₁₄=-10 0

₂₁=U₂+V₁-C₂₁=5 0

₂₂=U₂+V₂-C₂₂=3 0

₂₅=U₂+V₅-C₂₅=M 0

₃₁=U₃+V₁-C₃₁=0 0

₃₂=U₃+V₂-C₃₂=-2 0

₃₄=U₃+V₄-C₃₄=-12 0

₄₂=U₄+V₂-C₄₂=-5 0

₄₃=U₄+V₃-C₄₃=-6 0

₄₄=U₄+V₄-C₄₄=-8 0

₅₁=U₅+V₁-C₅₁=0 0

₅₂=U₅+V₂-C₅₂=-1 0

₅₃=U₅+V₃-C₅₃=-6 0

₅₄=U₅+V₄-C₅₄=-6 0

так как ₂₁ и ₂₂>0, то решение не оптимальное, его можно улучшить. Для этого строим цикл для клетки max_”+”{ }= ₂₁=>(2;1) в которую ставим знак «+» добавляем его к заполненным клеткам.

=min_”-“{0;0;100}=0

bj ai	100 *	100	100	200	300 *
300	7 0	6 100	5 -	11 -	7 200	U1 = 0
200	3 0	4 -	2 -	2 200	М -	U2 =-4
100	9 0	10 -	3 100	15 -	9 0	U3 =2
100	1 100	5 -	1 -	3 -	1 0	U4 =-6
100 Ф	0 0	0 -	0 -	0 -	0 100	U5 =-7
	V1 =7	V2 =6	V3 =1	V4 =6	V5 =7

Задаем целевую функцию:

Z(x)=600+1400+0+400+300+0+100+0+0=2800

Проверяем решение на оптимальность

Пусть U₁=0, тогда

₁₁=U₁+V₁-C₁₁=0 0

₁₃=U₁+V₃-C₁₃=-4 0

₁₄=U₁+V₄-C₁₄=-9 0

₂₂=U₂+V₂-C₂₂=-2 0

₂₃=U₂+V₃-C₂₃=-5 0

₂₅=U₂+V₅-C₂₅=M 0

₃₁=U₃+V₁-C₃₁=0 0

₃₂=U₃+V₂-C₃₂=-7 0

₃₄=U₃+V₄-C₃₄=-1 0

₄₂=U₄+V₂-C₄₂=-5 0

₄₃=U₄+V₃-C₄₃=-6 0

₄₄=U₄+V₄-C₄₄=-3 0

₅₁=U₅+V₁-C₅₁=0 0

₅₂=U₅+V₂-C₅₂=-1 0

₅₃=U₅+V₃-C₅₃=-6 0

₅₄=U₅+V₄-C₅₄=-1 0

bj ai	400	200	100	200
400	7 200	6 200	5	11
200	3 0	4	2	2 200
100	9 0	10	3 100	15
100	1 100	5	1	3
100 Ф	0 100	0	0	0

Z(x)=1400+1200+400+300+100=3400

Ответ: minZ(x)=3400 при x=