Введение

Линейное программирование - один из важнейших разделов математики, изучающий теории и методы решения определенных задач. Эта математическая дисциплина стала в последние годы широко применяться в различных областях экономики, техники и военного дела, где в их развитии не последнюю роль играет математическое планирование и использование автоматических цифровых вычислительных машин. Данный раздел науки изучает линейные оптимизационные модели. Иначе говоря, линейное программирование посвящено численному анализу и решению задач, требующих нахождения оптимального значения, т.е. максимума или минимума, некоторой системы показателей в процессе, а состояние его описывает система линейных неравенств. Впервые термин "линейное программирование" предложил американский экономист Т. Купманс в 1951 году. В 1975 году русский математик Л.В.Канторович и Т. Купманс были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за свой вклад в теорию оптимального распределения ресурсов. Т. Купманс пропагандировал методы линейного программирования и защищал приоритеты Л.В.Канторовича, открывшего эти методы. История линейного программирования в США уходит корнями в 1947 год, когда Дж. Данциг написал об этом в своей работе. Л.В.Канторович изучал возможность применения математики к вопросам планирования, на основе чего в 1939 году была опубликована его монография "Математические методы организации и планирования производства". Важнейшей находкой (открытием) Л.В.Канторовича явилась возможность четко математически сформулировать важнейшие производственные задачи, что позволяет найти количественный подход к данным задачам, а также их решение численными методами. Если бы первые работы Л.В.Канторовича получили в свое время должную оценку, то была бы велика вероятность еще большего продвижения линейного программирования в настоящее время. К сожалению, его работа оставалась в тени как в Советском Союзе, так и за его пределами, и, как отмечает Данциг: " …и за это время линейное программирование стало настоящим искусством." Оптимальный план любой линейной программы следует автоматически связывать с оптимальными ценами или, согласно Л.В.Канторовичу, с "объективно обусловленными оценками"... Это нагромождение слов имело целью повысить "критикоустойчивость" термина. Суть экономического открытия Л.В.Канторовича заключается во взаимосвязи оптимальных решений и оптимальных цен.

В ходе курсовой работы, я буду решать задачу на составление рациона кормления линейного программирования симплексным методом и транспортную задачу с ограничениями на пропускную способность.

Глава 1 транспортная задача линейного программирования

1.1. Транспортная задача

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из А₁,А₂…А_m пунктов отправления в В₁,В₂…В_n пунктов назначения. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Известно C_ij( i= ) – стоимость перевозки единиц груза от i-поставщика, j- потребителю, или время, необходимое на перевозку единицы груза. Требуется составить такой план перевозок, при котором:

1. Все запасы поставщика будут вывезены полностью.

2. Все запросы потребителя удовлетворены полностью.

3. Суммарные затраты на перевозку груза минимальны.

Задача, в которой требуется спланировать перевозку однородного груза от поставщиков к потребителям, называется транспортной задачей.

Условие транспортной задачи задается в виде таблицы:

1.Выбираем переменные задачи.

Пусть х_ij ( ) – количество единиц груза, перевозимое от i-го поставщика j-му потребителю, причем х_ij .

2.Составляем систему ограничений.

Система будет состоять из уравнений, так как:

а) все запасы поставщиков должны быть вывезены полностью

б) все запросы потребителей должны быть удовлетворены полностью

3.Задаем целевую функцию.

Цель задачи осуществить перевозки с минимальными затратами, поэтому

Z(x) = с₁*x₁ + с₁*x₁ + … + с_m*x_n .

Таким образом, математическая модель имеет вид:

составить план перевозки Х = , удовлетворяющий системе ограничений ,х_ij ( ), обеспечивающий минимум целевой функции Z(x) = .

Транспортные задачи делятся на два класса:

1. Задачи закрытого типа .

2. Задачи открытого типа делятся на две группы:

а) общие запасы , для разрешимости задачи, вводят фиктивного потребителя с запросами стоимость перевозок от каждого поставщика фиктивному потребителю = 0.

б) если же запас товара меньше запросов, вводят фиктивного поставщика стоимость перевозок от фиктивного поставщика потребителю = 0.