Вопрос №20

Остойчивость на малых углах крена можно рассматривать, очевид­но, как частный случай остойчивости на больших углах крена. Следо­вательно, диаграмма статической остойчивости должна характеризо­вать некоторым образом также начальную поперечную остойчивость судна. Действительно, дифференцируя по углу крена θ приближенную (метацентрическую) формулу для плеча статической остойчивости l ≈ h sin θ, получаем

(2.72)

При θ = 0 эта производная принимает точное значение:

(2.73)

Таким образом, в начальном (прямом) положении судна производная плеча статической остойчивости по углу крена численно равна началь­ной поперечной метацентрической высоте.

Но, как известно из аналитической геометрии, производная функ­ции геометрически выражает угловой коэффициент касательной в дан­ной точке к графику функции, т. е. тангенс угла между этой касатель­ной и положительным направлением оси абсцисс. Следовательно, для изображения начальной метацентрической высоты на диаграмме плеч статической остойчивости можно воспользоваться следующим по­строением (рис. 2.23): по оси абсцисс откладывают от начала координат отрезок ОА, равный в масштабе углов крена 1 рад, затем в точке А вос­станавливают перпендикуляр к оси абсцисс, который пересекается в точке В с касательной к диаграмме, проведенной в начале координат. Отрезок АВ этого перпендикуляра, измеренный в масштабе плеч остойчивости, будет равен начальной метацентрической высоте. В са­мом деле, из прямоугольного треугольника ОБА находим

(2.74)

Соответственно, если диаграмма остойчивости построена в моментах, то производная восстанавливающего момента по углу крена при θ = 0 будет численно равна коэффициенту поперечной остойчивости k=Ph.

Рисунок 2.23 наглядно показывает допустимые пределы использо­вания метацентрической формулы (2.10), графиком которой является касательная 0В. При малых θ прямая ОВ и кривая ОСЕ, выражающая действительный закон изменения плеча статической остойчивости по углу Θ, практически совпадают. Резкое расхождение между ними начи­нается обычно после входа в воду кромки палубы или выхода из воды скулы судна.

Рис. 2.23. Начальная остойчи­вость на диаграмме статической остойчивости

Таким образом в прямом положении судна производная плеча статической остойчивости по углу крена равна