3. Характеристики вариационного ряда
Характеристиками вариационного ряда являются:
- среднее арифметическое;
- среднее геометрическое;
- средняя квадратичная;
- средняя логарифмическая и др. средние;
- медиана;
- мода.
Среднее арифметическое вычисляется с использованием формулы:
(2)
В частности, для данных таблицы 1 средний возраст осужденных за тяжкие телесные повреждения (среднее арифметическое) равно:
=(1/55)*(16*3+17*5+18*8+19*10+20*8+21*6+22*5+23*4+24*3+25*2+26*1)=20,05 (года), для данных таблицы 2 средняя норма выработки (среднее арифметическое) равна 85,9%.
Среднее геометрическое вычисляется с использованием формулы:
(3)
Среднее геометрическое применяется главным образом для изучения динамики социально-правовых явлений.
В случае, когда вариационный ряд является интервальным, для расчета показателей средних арифметического и геометрического применяются значения вариант, относящиеся к середине соответствующих интервалов.
Медиана (Ме) – это такое значение варианты, которое приходится на середину вариационного ряда.
В случае, если число членов ряда нечетное, Ме = а +1, где а – целая часть от деления пополам количества вариант вариационного ряда. Таким образом для ряда в таблице 1 Ме = а + 1 = 11/2 + 1 = 5 +1 = 6, то есть Ме = 21 (см. таблицу 1).
В случае, если вычисляется медиана интервального вариационного ряда, используется следующая приближенная формула:
Ме = Х1н +К1м (n/2 –Ti-1)/ni, (4)
где: Х1н – значение начала медианного варианта;
К1м – длина медианного интервала;
n/2 – полуобъем выборки в процентах;
Ti-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному (определяется по первой накопленной частоте, превышающей половину всего объема вариационного ряда, то есть более 50%);
ni – частота медианного интервала.
Для вариационного ряда, представленного в таблице 2, значение медианы в соответствии с этой формулой, будет:
Ме = 80+5(50 – 35,1)/17,2 = 84,3.
Медиана обладает замечательным свойством – сумма абсолютных величин отклонений вариантов от нее меньше, в том числе и от средней арифметической.
На практике это свойство может быть применено, например, при:
- проектировании маршрутов патрульных групп;
- выборе места для пункта управления подразделениями ГИБДД на протяженных участках дороги и др.
Мода (Мо) – значение варианты, имеющей максимальную частоту в вариационном ряду.
В таблице 1 максимальная частота (максимальное количество осужденных за тяжкие телесные повреждения) – 19 (лет).
Модальное значение интервального ряда вычисляется с использованием формулы:
Мо = Х1н +(К1м / (1 + ((ni - ni+1) / (ni - ni-1))), (5)
где: Х1н – значение начала медианного варианта;
К1м – длина модального интервала;
ni – частота модального интервала;
ni-1 и ni+1 – соответственно частоты предшествующего и последующего интервалов по отношению к модальному.
Для вариационного ряда, характеризующего распределение работающих в ИТУ по норме выработки (таблица 2) это следующие значения:
Х1н = 80;
К1м = 5;
ni = 120;
ni-1 = 95;
ni+1 = 88.
Мода интервального ряда, представленного в таблице 2, равна 82,2. Это и есть оценка значения нормы выработки, которую выполняет наибольшая группа осужденных.
Сравнивая значения средней арифметической, моды и медианы, можно определить, каким является вариационный ряд:
- симметричным или асимметричным (скошенным).
Если ряд умеренно отличается от симметричного, то должно выполняться соотношение:
.
(6)
Так, для вариационного ряда, характеризующего распределение работающих в ИТУ по норме выработки (таблица 2), получается значение, равное 2,3. Это приводит к выводу о незначительном отличии ряда от симметричного.
Характерно, что для таких рядов медиана расположена между модой и средней арифметической.
Рассмотренные числовые характеристики вариационного ряда, и, в частности, параметры, характеризующие средние величины и максимум ряда, не учитывают вариации признака различных социально-правовых процессов.