Логіка висловлювань Завдання 1

Для функцій, що реалізовані формулами, побудувати таблиці істинності:

1. .

Розв’язування:

Складемо таблицю істинності для заданої функції:

0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	0
1	0	1	1	0	1	1
1	1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	0	1	1

Завдання 2

Представити у вигляді ДДНФ і ДКНФ функції:

3. .

Розв’язування:

Складемо таблицю істинності для цієї функції:

0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	0	1
1	0	0	1	1	1	1	0	0
1	0	1	1	1	1	1	0	1
1	1	0	1	0	0	0	0	0
1	1	1	1	0	1	0	1	0

ДДНФ можна одержати безпосередньо з таблиці істинності, фіксуючи увагу тільки на тих наборах, для яких значення функції дорівнює 1, і замінюючи в них x_i=0 змінною , а х_i=1 - змінною х_і. Отримані в такий спосіб повні кон’юнкції потрібно об’єднати знаком +. Одержимо такі повні кон’юнкції:

.

Об’єднаємо ці кон’юнкції і одержимо ДДНФ:

.

Одержимо ДКНФ таким чином. З таблиці істинності, відберемо тільки ті набори, для яких F = 0, і замінимо в них х_i = 0 змінною х_i, а х_i = 1 – змінною . Отримані повні диз’юнкції з’єднаємо знаками кон’юнкції. Одержимо такі повні диз’юнкції:

.

Об’єднаємо ці диз’юнкції і одержимо ДКНФ:

.

Завдання 3

Спростити функції.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Розв’язування:

1. .

Використаємо правила , :

.

2. .

Використаємо правила , :

.

3. .

Використаємо правила , :

.

4. .

Використаємо правила , , :

.

5. .

Використаємо правила , :

;

.

6. .

Використаємо правила , :

;

;

.

Множини

Завдання 1

Нехай дані множини А, В, С. Знайти: I) А(ВС); II) А(ВС); III) (АВ)С; IV) (АС)(АВ); V) (АС)В; VI) (АВ)С, якщо:

5. A={1; 3; 5;...}, B={2; 4; 6;...}, C= N

Розв’язування:

Зауважимо, що .

I) А(ВС) = АС = A;

II) А(ВС) = АВ = N.

III) (АВ)С = NN = N.

IV) (АС)(АВ) = A = A.

V) (АС)В = CВ = B.

VI) (АВ)С = С = C = N.

Завдання 2

Нехай дані множини А, В, С. Зобразити за допомогою кругів Ейлера наступні множини.

4. АВС.

Розв’язування:

Завдання 3

Знайти декартовий добуток множин А і В та зобразити їх елементи на координатній площині, якщо:

3. A=[-1; 3],B=[2; 4].

Розв’язування:

АхВ = [-1; 3]х[2; 4] = .

Зобразимо декартовий добуток на координатній площині:

Комбінаторика

Завдання 1

Скількома способами можна розкласти 10 книг у 5 бандеролей так, щоб в кожній бандеролі було по дві книги ( порядок бандеролей до уваги не береться ).

Розв’язування:

В першу бандероль можна відібрати книги способами. Після цього в другу бандероль можна відібрати книги . В третю, четверту і п’ять бандероль дві книги можна відібрати послідовно , і способами відповідно.

Тоді загальна кількість способів за правилом множення дорівнює

.

Оскільки порядок бандеролей до уваги не береться, то шукана кількість способів дорівнює

.

Завдання 2

Скількома способами можна переставити букви слова “кавоварка”?

Розв’язування:

В цьому слові 9 букв: дві букви «к», три букви «а», дві букви «в», одна буква «о» і одна буква «р».

Букви слова “кавоварка” можна переставити способами:

.

Завдання 3

Скількома способами можна переставити букви слова “самовар”?

Розв’язування:

В цьому слові 7 букв: дві букви «а» та по одній букві «с», «м», «о», «в» і «р».

Букви слова “самовар” можна переставити способами:

.

Завдання 4

Скільки різних браслетів можна зробити з 5 однакових смарагдів, 6 однакових рубінів та 7 однакових сапфірів?

Розв’язування:

Камені можна переставити способами. При циклічних перестановках і при симетріях браслет залишається незмінним. Отримуємо

способів.

Завдання 5

Скільки різних слів можна отримати, переставляючи букви у слові “парабола”?

Розв’язування:

В цьому слові 8 букв: три букви «а» та по одній букві «п», «р», «б», «о» і «л».

Переставляючи букви у слові “парабола”, можна отримати слів:

слів.

Завдання 6

Скільки різних слів можна отримати, переставляючи букви у слові “інтеграл”?

Розв’язування:

В цьому слові 8 букв, причому всі букви різні.

Отже, переставляючи букви у слові “інтеграл”, можна отримати 8!=40320 слів.

Завдання 7

Студенту необхідно скласти 4 екзамени протягом 6 днів. Скількома способами можна це зробити?

Розв’язування:

Для першого екзамену можна обрати день 6 способами. Тоді для другого екзамену залишиться 5 днів (способів). Далі для третього екзамену залишиться 4 дня (способи). Нарешті для четвертого екзамену буде 3 дня.

За правилом множення шукана кількість способів дорівнює

6*5*4*3 = 360.

Завдання 8

Скількома способами можна розмістити 4 учнів на 25 місцях?

Розв’язування:

Кількість способів, якими можна розмістити 4 учнів на 25 місцях, дорівнює кількості розміщень із 25 по 4, тобто .

Завдання 9

На вершину гори ведуть n доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? Те ж саме питання, при умові, що підйом і спуск здійснюються різними шляхами.

Розв’язування:

Турист може піднятися на гору способами. Потім турист може спуститися також способами. За правилом множення кількість способів піднятися і спуститися з гори дорівнює .

Якщо підйом і спуск здійснюються різними шляхами, то турист може піднятися на гору способами, а спуститися лише способом. За правилом множення кількість способів піднятися і спуститися з гори тоді дорівнює .