Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
865.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
591.36 Кб
Скачать

13. Відповідності і відношення

Декартовим добутком двох множин X та Y називається третя множина X  Y, елементами якої є всі можливі пари елементів вихідних множин, причому першим елементом пари може бути лише один елемент множини Х, другим — лише один елемент множини Y.

Розглянемо дві множини X та Y, елементи яких складають пари (x, y) за деяким законом. Якщо спосіб такого зіставлення визначений, то говорять, що між множинами X та Y встановлена відповідність.

Відповідність q є трійкою множин (X, Y, Q), в якій Q  X  Y, X — область відправлення відповідності, Y — область прибуття відповідності, Q — графік відповідності.

Крім того, з кожною відповідністю пов’язані ще дві множини:

- область визначення відповідності — це елементи множини Х, які беруть участь у відповідності (позначення: Пр1Q);

- область значень відповідності — це елементи множини Y, які беруть участь у відповідності (позначення Пр2Q).

Якщо (x, y)  Q, тоді кажуть, що елемент у відповідає елементу х: х  y.

Наприклад, Х = {1,2}, Y = {3,5}, X  Y = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5)}. Ця множина дає можливість отримати різні відповідності:

Q1 = {(1,3)}, Пр1Q1 = {1}  X, Пр2Q1 = {3}  Y;

Q2 = {(1,3), (1,5)}, Пр1Q2 = {1}  X, Пр2Q2 = {3,5} = Y.

Для кожної відповідності q = (X, Y, Q), Q  X  Y існує обернена відповідність, яка отримується, якщо дану відповідність розглядати в зворотному напрямку, тобто визначати елементи x  X, з якими зіставляються елементи y  Y. Відповідність, обернена до відповідності q, позначається так: q–1 = (Y, X, Q–1), де Q–1  Y  X, причому (q–1)–1 = q.

Композицією відповідностей називається послідовне застосування двох відповідностей. Композиція відповідностей — операція над трьома множинами X, Y, Z, на яких визначені дві відповідності:

q = (X, Y, Q), Q  X  Y;

p = (Y, Z, P), P  Y  Z,

причому область значень першої відповідності збігається з областю визначення другої відповідності: Пр2Q = Пр1Р.

Відношенням називається відповідність, у якої область відправлення та область прибуття збігаються. Інакше кажучи, відношення — це відповідність виду t = (M, M, T) (кажуть, що елементи mi та mj знаходяться у відношенні Т, якщо (mi, mj)T).

15. Відношення еквівалентності

Розглянемо дві множини X та Y, елементи яких складають пари (x, y) за деяким законом. Якщо спосіб такого зіставлення визначений, то говорять, що між множинами X та Y встановлена відповідність.

Відповідність q є трійкою множин (X, Y, Q), в якій Q  X  Y, X — область відправлення відповідності, Y — область прибуття відповідності, Q — графік відповідності.

Крім того, з кожною відповідністю пов’язані ще дві множини:

Область визначення відповідності — це елементи множини Х, які беруть участь у відповідності (позначення: Пр1Q).

Область значень відповідності — це елементи множини Y, які беруть участь у відповідності (позначення Пр2Q).

Якщо (x, y)  Q, тоді кажуть, що елемент у відповідає елементу х: х  y.

Відношенням називається відповідність, у якої область відправлення та область прибуття збігаються. Інакше кажучи, відношення — це відповідність виду t = (M, M, T) (кажуть, що елементи mi та mj знаходяться у відношенні Т, якщо (mi, mj) T).

Рефлексивне відношення — це відношення Т у множині М, для якого виконується m  M (m, m)  T.

Симетричним називається відношення, якщо із (mi, mj)  T випливає, що (mj, mi)  T для mi  mj.

Транзитивне відношення — якщо з (mi, mj)  T та (mj, mk)  T випливає, що (mi, mk)  T, (mi, mj, mk)  T, mi  mj, mi  mk, mk  mj.

Відношення еквівалентності – це бінарне відношення, що має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності.

Прикладом відношення еквівалентності є відношення конгруентності з модулем .

Нехай – відношення еквівалентності на множині А. Множину всіх елементів, які еквівалентні до елемента , називають класом еквівалентності (елемента ).

Кожне відношення еквівалентності на множині А породжує її розбиття на класи еквівалентності.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]