
- •1. Логіка висловлювань
- •10. Множини. Поняття, приклади
- •13. Відповідності і відношення
- •15. Відношення еквівалентності
- •21. Групи, кільця, поля
- •40. Поняття графа
- •Логіка висловлювань Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 10
- •Завдання 11
- •Завдання 12
- •Завдання 13
- •Завдання 14
- •Кодування Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 4
- •Список літератури
13. Відповідності і відношення
Декартовим добутком двох множин X та Y називається третя множина X Y, елементами якої є всі можливі пари елементів вихідних множин, причому першим елементом пари може бути лише один елемент множини Х, другим — лише один елемент множини Y.
Розглянемо дві множини X та Y, елементи яких складають пари (x, y) за деяким законом. Якщо спосіб такого зіставлення визначений, то говорять, що між множинами X та Y встановлена відповідність.
Відповідність q є трійкою множин (X, Y, Q), в якій Q X Y, X — область відправлення відповідності, Y — область прибуття відповідності, Q — графік відповідності.
Крім того, з кожною відповідністю пов’язані ще дві множини:
- область визначення відповідності — це елементи множини Х, які беруть участь у відповідності (позначення: Пр1Q);
- область значень відповідності — це елементи множини Y, які беруть участь у відповідності (позначення Пр2Q).
Якщо (x, y) Q, тоді кажуть, що елемент у відповідає елементу х: х y.
Наприклад, Х = {1,2}, Y = {3,5}, X Y = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5)}. Ця множина дає можливість отримати різні відповідності:
Q1 = {(1,3)}, Пр1Q1 = {1} X, Пр2Q1 = {3} Y;
Q2 = {(1,3), (1,5)}, Пр1Q2 = {1} X, Пр2Q2 = {3,5} = Y.
Для кожної відповідності q = (X, Y, Q), Q X Y існує обернена відповідність, яка отримується, якщо дану відповідність розглядати в зворотному напрямку, тобто визначати елементи x X, з якими зіставляються елементи y Y. Відповідність, обернена до відповідності q, позначається так: q–1 = (Y, X, Q–1), де Q–1 Y X, причому (q–1)–1 = q.
Композицією відповідностей називається послідовне застосування двох відповідностей. Композиція відповідностей — операція над трьома множинами X, Y, Z, на яких визначені дві відповідності:
q = (X, Y, Q), Q X Y;
p = (Y, Z, P), P Y Z,
причому область значень першої відповідності збігається з областю визначення другої відповідності: Пр2Q = Пр1Р.
Відношенням називається відповідність, у якої область відправлення та область прибуття збігаються. Інакше кажучи, відношення — це відповідність виду t = (M, M, T) (кажуть, що елементи mi та mj знаходяться у відношенні Т, якщо (mi, mj)T).
15. Відношення еквівалентності
Розглянемо дві множини X та Y, елементи яких складають пари (x, y) за деяким законом. Якщо спосіб такого зіставлення визначений, то говорять, що між множинами X та Y встановлена відповідність.
Відповідність q є трійкою множин (X, Y, Q), в якій Q X Y, X — область відправлення відповідності, Y — область прибуття відповідності, Q — графік відповідності.
Крім того, з кожною відповідністю пов’язані ще дві множини:
Область визначення відповідності — це елементи множини Х, які беруть участь у відповідності (позначення: Пр1Q).
Область значень відповідності — це елементи множини Y, які беруть участь у відповідності (позначення Пр2Q).
Якщо (x, y) Q, тоді кажуть, що елемент у відповідає елементу х: х y.
Відношенням називається відповідність, у якої область відправлення та область прибуття збігаються. Інакше кажучи, відношення — це відповідність виду t = (M, M, T) (кажуть, що елементи mi та mj знаходяться у відношенні Т, якщо (mi, mj) T).
Рефлексивне відношення — це відношення Т у множині М, для якого виконується m M (m, m) T.
Симетричним називається відношення, якщо із (mi, mj) T випливає, що (mj, mi) T для mi mj.
Транзитивне відношення — якщо з (mi, mj) T та (mj, mk) T випливає, що (mi, mk) T, (mi, mj, mk) T, mi mj, mi mk, mk mj.
Відношення еквівалентності – це бінарне відношення, що має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності.
Прикладом
відношення еквівалентності є відношення
конгруентності з модулем
.
Нехай
– відношення еквівалентності на множині
А. Множину всіх елементів, які еквівалентні
до елемента
,
називають класом еквівалентності
(елемента
).
Кожне відношення еквівалентності на множині А породжує її розбиття на класи еквівалентності.