Зміст

1. Логіка висловлювань 3

10. Множини. Поняття, приклади 4

13. Відповідності і відношення 7

15. Відношення еквівалентності 8

21. Групи, кільця, поля 10

40. Поняття графа 11

Логіка висловлювань 12

Множини 16

Комбінаторика 17

Графи 22

Кодування 27

Список літератури 34

1. Логіка висловлювань

Одним із засадних понять математичної логіки є висловлювання. Висловлюванням називається будь-яке розповідне речення (твердження), про яке в даний момент можна сказати, істинне воно чи хибне, але не одночасно. Істинність висловлювання — його єдина характеристика. Розділ логіки, який вивчає висловлювання та їхні властивості, називають логікою висловлювань.

Висловлювання розглядаються щодо елементів деякої універсальної множини І. Окремі елементи цієї множини можуть мати певні властивості. Твердження про те, має чи не має той чи інший елемент з І необхідні властивості, і будуть висловлюваннями.

Наприклад, речення «У тому році був гарний врожай зернових» не буде висловлюванням, оскільки «той рік» — не є певним елементом деякої множини. Але, якщо «той рік» замінити на «2000 рік», будемо мати висловлювання.

Висловлювання позначають малими літерами латинського алфавіту (наприклад, a, b, …, x, y, …). Кожному з них приписується числове значення 1, якщо висловлювання істинне, та 0, якщо висловлювання хибне.

Кожне висловлювання може бути істинним або хибним залежно від елемента універсальної множини, що розглядається. Будь-яке висловлювання можна пов’язати з певною множиною логічних можливостей. Множина всіх логічних можливостей даного висловлювання називається універсальною множиною, а її підмножина, для якої дане висловлювання істинне, називається множиною істинності даного висловлювання. Наприклад, для висловлювання «У Києві проживає понад три мільйони жителів» універсальною мно­жиною І може бути множина логічних можливостей: «У Києві проживає n жителів», де n — натуральне число. Тоді множиною істинності буде підмножина універсальної множини І, для якої n > 3 000 000.

Якщо висловлювання істинне в усіх логічно можливих випадках, то воно називається тотожно істинним (позначається x  1). Якщо ж воно хибне в усіх логічно можливих випадках, то воно тотожно хибне (x  0). Із кількох висловлень за допомогою логічних зв’язок (операторів) можна створювати нові висловлювання, які називаються складними (молекулярними) висловлюваннями, або формулами. Складові молекулярного висловлювання, які позначаються однією літерою (x, y, z, …), називаються простими (атомарними) висловлюваннями. Істинність складного висловлювання залежить від істинності його простих висловлень. Отже, складне висловлювання є функцією простих висловлень.

У логіці висловлювань використовують п’ять основних логічних операцій: заперечення (читають «не» та позначають знаком ), кон’юнкцію (читають «і» й позначають знаком ), диз’юнкцію (читають «або» та позначають знаком ), імплікацію (читають «якщо …, то» та позначають знаком ), еквівалентність (читають «тоді й лише тоді» та позначають знаком ~).

Наведемо приклади складних висловлювань.

1. Сніг білий, і небо теж біле.

2. Якщо погода хороша, то ми їдемо відпочивати.

У наведених прикладах логічні операції – це «і» та «якщо .., то».

Будь-яке складне висловлювання можна задати у вигляді таблиці істинності.

Такі таблиці містять значення істинності висловлювань залежно від значень істинності їх складових.