3.4. Когерентный и некогерентный прием дискретных сигналов

	Вероятность ошибок при когерентном приеме
	Различение m-ичных сигналов
	Некогерентный прием

Когерентный прием сигналов осуществляется при следующих условиях:

• передаваемые сигналы   полностью известны,

• канал связи имеет известные параметры,

• помеха  носит аддитивный характер, имеет гауссовскую плотность вероятности и известную спектральную плотность  ,

• синхронизация сигналов является идеальной.

Представим реальный сигнал моделью

, (52)

где  - m –мерный вектор, учитывающий все возможные передаваемые сигналы  (для конкретного сигнала   (m-1) компонентов вектора   являются нулевыми). Требуется обеспечить оптимальное различение сигналов  .

Сигналы   являются детерминированными и известными, поэтому плотность вероятности принятого сигнала  ,  , полностью определяется K-мерной плотностью вероятности значений помехи  , т.е. функция правдоподобия есть

. (53)

В случае гауссовской помехи

, (54)

где  ,  - ширина полосы частот,  - отсчеты помехи. Энергия помехи на интервале L равна

 (55)

или

. (56)

Поскольку

,

то

. (57)

Алгоритм оптимального когерентного приема по критерию максимального правдоподобия состоит в получении максимального по i значения в выражении (57). Это условие обеспечивается при  .

Можно показать, что алгоритм обеспечивает в указанных условиях также минимум полной вероятности ошибки и соответствует критерию идеального наблюдателя.

Для двоичных сигналов (импульсов) имеются два варианта  или  . При этом для их различения проверяется условие

. (58)

После раскрытия скобок получаем неравенство

, (59)

где в левой части записана разность корреляционных интегралов, а в правой – разность энергии сигналов.

Блок-схема различения двух сигналов показана на рис. 3.1.

      

Рис. 3.1 Структурная схема алгоритма различения двух сигналов

Для различения сигналов  одним из наиболее эфективных методов является использование согласованных фильтров. Известно, что такие фильтры обеспечивают наибольшее отношение сигнала к шуму на выходе фильтра.

Согласованный фильтр дает сигнал на выходе

, (60)

где импульсный отклик фильтра  представляет собой обращенную копию сигнала  . Поскольку принимаемые сигналы  являются реализациями стационарного случайного процесса, значение интеграла (60) не зависит от сдвига аргументов подынтегральных функций и равен корреляционному интегралу

. (61)

Для вычисления разности корреляционных интегралов  в схеме рис. 3.1. можно задать импульсный отклик согласованного фильтра в форме

и использовать только один фильтр вместо двух умножителей. Запуск фильтра обеспечивается схемой синхронизации когерентного приемника в момент x=0 и снятия показаний в конце интервала L.

Вероятность ошибок при когерентном приеме

Если энергия разности двух различаемых сигналов   не превышает энергии помехи на выходе согласованного фильтра, т.е.

, (62)

то имеет место ошибочный прием сигнала. Вероятность ошибок  , возникающая из-за влияния гауссовского шума, определяется интегрированием гауссовской плотности вероятности  шума вида (54) в форме

, (63)

где , величина  характеризует отношение сигнала к шуму. При заданном отношении  вероятность ошибочного приема можно найти из (63), используя табулированные значения функции 

Различение m-ичных сигналов

Условие различения сигналов выражается в виде

, (64)

где   и представляют собой систему  неравенств, которые анализируются совместно.

Можно показать, что при аддитивной помехе и когерентном приеме с идеальной синхронизацией вероятность правильного приема равна

, (65)

где  - вероятность единичной ошибки в канале, - вероятность ошибки m-ичного приема. Поскольку  , по формуле бинома Ньютона запишем

. (66)

Вероятность ошибки линейно возрастает с ростом m. Однако m-ичный символ несет в  раз большее количество информации. Сравнение m-ичного и двоичного каналов следует вести при одинаковой скорости передачи и равных энергиях. Можно показать, что m-ичные системы имеют более высокую степень помехоустойчивости, однако аппаратурно значительно более сложны.

Достоинствами методов когерентного приема сигналов является независимость помехоустойчивости от полосы пропускания и отсутствие необходимости фильтрации спектра входных сигналов.

Некогерентный прием

При некогерентном приеме моменты появления известного по форме сигнала (его фаза ) рассматриваются как значение случайной переменной. При этом математическое ожидание функции правдоподобия можно выразить в форме

. (67)

Согласно критерию максимального правдоподобия, требуется обеспечить выполнение условия . (68)

Можно показать, что оптимальный некогерентный приемник выделяет огибающую взаимной корреляционной функции

. (69)

Здесь сигналы   и   представлены в форме комплексных аналитических сигналов

, (70)

, (71)

где мнимые части связаны с действительными частями преобразованием Гильберта. Сигналы (70) и (71) можно представить в полярных координатах в виде

, (72)

, (73)

причем фазы сигналов выражаются в форме

. (74)

Выражение (69) справедливо в случае, когда модули функций (72) и (73) и фаза   в (74) изменяются медленно по сравнению с периодом несущей . Пример действительной части аналитического сигнала, показан на рис.3.2.

Рис. 3.2 Пример изменения действительной части аналитического сигнала

Комплексные амплитуды сигналов (72) и (73) определяются выражениями

, (75)

 (76)

и используются при оценке интеграла в (69).