3.3. Критерии верности передачи дискретных сообщений
|
Критерий среднего риска |
|
Критерий идеального наблюдателя |
|
Критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок |
|
Критерий Неймана-Пирсона |
|
Критерий максимального правдоподобия |
|
Информационный критерий |
При известных характеристиках линий передачи информации важное значение имеют методы оптимального приёма сообщений, которые во многом определяют достоверность и скорость получения информации.
Принято различать три задачи:
Обнаружение сообщения, когда требуется установить, имеется ли на входе информационный сигнал и помеха или только помеха. Обнаружение сообщений осуществляется в асинхронных системах связи с пассивной паузой.
Различение сообщений, когда требуется определить, какое сообщение из возможных (известных) сообщений передано. Различение сообщений является важной операцией в синхронных системах связи с активной паузой.
Восстановление сообщений, заключающееся в том, чтобы на основе принятого искаженного сообщения получить истинное по заданному критерию.
Поскольку сообщения передаются при помощи сигналов, решение перечисленных задач зависит от:
избыточности сообщений,
способа кодирования,
свойств сигнала-переносчика,
вида модуляции,
характеристик помех в канале,
способа демодуляции.
Общий анализ всех аспектов проблемы помехоустойчивости весьма сложен, поэтому её решение разбивают на отдельные этапы. Для этого используют априорную информацию и считают известными вид сигнала и характеристики помех в канале. Тогда задача анализа помехоустойчивости передачи сообщений определяется прежде всего помехоустойчивостью приёма сигналов.
В любом случае оценка помехоустойчивости передачи сообщений основывается на выбранном (заданном) критерии, т.е. некоторой количественной мере, характеризующей качество приёма информации.
Рассмотрим основные критерии верности передачи сообщений.
Критерий среднего риска
Обратимся к задаче различения сигналов.
Пусть
при передачи используются m сигналов 
Принятый
сигнал представляет собой сумму
переданного полезного сигнала и помехи,
т.е.
Обозначим 
многомерную
плотность вероятности приёма случайной
реализации при
условии, что был передан сигнал 
Требуется
определить, какой именно (из m) сигнал
был принят.
При
различении сигналов используются методы
статистических решений. Многомерное
пространство сигналов разбивают
на m подпространств 
.
Тогда если
,
то принимают решение, что был принят
сигнал 
.
Если на самом деле был передан другой
сигнал 
,
а сигнал (x) попал
в 
под
действием помехи, то имеет место ошибка
в передаче сообщения.
Запишем выражения для условных вероятностей правильного приема сигнала и вероятности ошибки:
(29)
(30)
где –
вектор, включающий все возможные
реализации
,
и интегралы являются многомерными.
Потери,
которые возникают при ошибочном решении,
что был принят сигнал
,
когда на самом деле передавался
обозначим 
.
Естественно принять 
. Условный
риск при
передаче
есть
(31)
т.е. определяется суммой вероятностей ошибок с учётом потерь .
Если 
–
априорная вероятность передачи
сигналов
или
средняя частота, с которой сигналы
передаются
в канал, тогда средний
риск при
передаче одного сигнала из m возможных
равен
(32)
где 
–
безусловная вероятность.
Качество канала передачи сообщений тем выше, чем меньше средний риск R в (32).
Критерий среднего риска является одним из наиболее общих. Это Байесовский критерий, поскольку он основан на априорно известных вероятности передачи отдельных сигналов и условной вероятности на приемной стороне, что позволяет воспользоваться формулой Байеса в (32).
Оптимизация
процесса передачи осуществляется за
счёт выбора соответствующих сигналов
и границ областей принятия решений,
таких, чтобы выполнить условие 
При длительной
эксплуатации канал,
построенный согласно критерию минимума
среднего риска будет наиболее “экономичным”
из всех возможных, т.к. сумма штрафов за
ошибки в нём минимальна.
Недостатками критерия являются требование исчерпывающего знания вероятностей сообщений и сложность установления (обоснования) потерь .
Критерий идеального наблюдателя
Пусть объективные данные для установления потерь отсутствуют. Тогда разумно стремиться к тому, чтобы различитель сигналов ошибался как можно реже, т.е. чтобы полная вероятность появления ошибки
(33)
Критерий
идеального наблюдателя является частным
случаем критерия среднего риска,
когда 
при 
.
При этом не учитывается различие в
последствиях отдельных ошибок и средний
риск
.
Минимизация
среднего риска равносильна минимизации 
.
Вероятность правильного приема сообщения
Максимум достигается тогда, когда решение о том, что принятый сигнал относится к области , принимается при выполнении условия
(34)
где , как и ранее, m – мерный вектор. Анализ m-1 условий (34) показывает, что они равносильны алгоритму
(35)
заключающемуся в том, что регистрируется тот сигнал , для которого априорная вероятность максимальна.
Критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок
В ряде случаев затруднение вызывает не только установление потерь , но и априорных вероятностей передачи сигналов , когда характер потока сообщений заранее не известен. При этом определить полную вероятность ошибки нельзя, но можно установить равенство вероятностей передачи сигналов
После подстановки в формулу для среднего риска (31) с учётом соотношения
(36)
имеем
,
(37)
поэтому
условие 
идентично
условию 
.
В
частном случае различения двух сигналов
(m =
2) и 
задача
сводится к обнаружению сигнала 
на
фоне шума.
Обозначим
условные вероятности следующим
образом: 
–
ошибка первого рода (ложное сообщение), 
–
ошибка второго рода (пропуск сообщения).
Средний
риск при обнаружении сообщения 
будет
равен
Критерий Неймана-Пирсона
В
ряде случаев стремятся уменьшить
вероятность пропуска информационного
сигнала, что обеспечивается при условии 
,
реализуемом на практике на основе
сравнения с пороговым (допустимым)
уровнем вероятности пропуска сообщения,
т.е. 
.
Чтобы учесть также последствия ложного
приёма сообщения, определяемого
вероятностью 
,
вводится целевая функция вида 
,
где –
коэффициент, оптимизация которой
позволяет построить системы по критерию
Неймана-Пирсона.
В
случае различения двух сигналов 
при
равенстве слагаемых целевой функции
запишем
(38)
при этом условие среднего риска сводится к соотношению
(39)
где вероятности пропуска сообщения и ложного сообщения определяются в форме
(40)
(41)
Следовательно, критерий Неймана-Пирсона можно интерпретировать как частный случай Байесовского критерия.
Для
случая различения сигналов 
используем
соотношение
(42)
где 
–
апостериорная вероятность того, что
передавался сигнал
при
условии принятого сигнала , p( ) –
безусловная плотность вероятности
сигнала .
Согласно формуле Байеса,
(43)
Условие максимума апостериорной вероятности есть
В случае обнаружения сигнала должно выполняться условие
(44)
или
(45)
(46)
Левая часть неравенства (46) носит название отношения правдоподобия. Правая часть в случае неизвестных вероятностей отсутствия и наличия сигнала также неизвестна, поэтому принимают, что отношение правдоподобия должно быть выше заданного порогового значения . Таким образом, пространство реализаций преобразуется в значения на числовой оси, так что условные вероятности принять сигнал при условии его наличия или отсутствия выражаются в форме
(47)
(48)
Поэтому
при установленной границе 
принятия
решений
(49)
(50)
Структура
оптимального приемника Неймана-Пирсона
строится так, чтобы выполнялось условие 
.
Критерий максимального правдоподобия
Плотность вероятности получения реализации при условии переданного сигнала называется функцией правдоподобия. Наиболее правдоподобной гипотезой является та, для которой выполняется условие
Таким
образом, имеет место частный случай
критерия идеального наблюдателя при 
и
достигается минимум суммы условных
вероятностей ошибок.
Информационный критерий
Качество
приёма сообщений можно определить
сравнением количества принятой 
и
переданной
информации
в форме
(51)
Можно показать, что критерий (51) во многих случаях эквивалентен критерию идеального наблюдателя и критерию максимума апостериорной вероятности.